Question

【題目】如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定有兩個(gè)很靠近的同心圓形軌道，外圓ABCD光滑，內(nèi)圓的上半部分粗糙，下半部分光滑。一質(zhì)量的小球從軌道的最低點(diǎn)A處以初速度向右運(yùn)動(dòng)，球的直徑略小于兩圓間距，球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，取。（答案可以保留根號）

(1)若要使小球始終緊貼著外圓做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度至少為多少？

(2)若，經(jīng)過一段時(shí)間小球到達(dá)最高點(diǎn)，內(nèi)軌道對小球的支持力，則小球在這段時(shí)間內(nèi)克服摩擦力做的功是多少？

(3)若，經(jīng)過足夠長的時(shí)間后，在小球運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中摩擦力做的功是多少？

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

(1)設(shè)小球從A點(diǎn)以最小速度貼著光滑的外軌道到最高點(diǎn)的最小速度為為，有

得

小球從最低點(diǎn)A到最高點(diǎn)C的過程，據(jù)動(dòng)能定理得

解得

即初速度至少為

(2)若，在最高點(diǎn)C處，設(shè)加速度為

得

小球從最低點(diǎn)A到最高點(diǎn)的過程，據(jù)動(dòng)能定理得

得

(3)若，經(jīng)過足夠長得時(shí)間，因下半圓軌道均光滑，小球最終會(huì)在DAB之間往復(fù)運(yùn)動(dòng)，且

小球從最低點(diǎn)A到D或B的全過程，據(jù)動(dòng)能定理得

得