Question

19．如圖所示，半徑R=1m的光滑半圓軌道AC與高h(yuǎn)=8R的粗糙斜面軌道BD放在同一豎直平面內(nèi)，BD部分水平長(zhǎng)度為x=6R．兩軌道之間由一條光滑水平軌道相連，水平軌道與斜軌道間有一段圓弧過(guò)渡．在水平軌道上，輕質(zhì)彈簧被a、b兩小球擠壓（不連接），處于靜止?fàn)顟B(tài)．同時(shí)釋放兩個(gè)小球，a球恰好能通過(guò)半圓軌道最高點(diǎn)A，b球恰好能到達(dá)斜面軌道最高點(diǎn)B．已知a球質(zhì)量為m₁=2kg，b球質(zhì)量為m₂=1kg，小球與斜面間動(dòng)摩擦因素為μ=$\frac{1}{3}$，重力力加速度為g=10m/s²．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：

（1）a球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的作用力
（2）釋放小球前彈簧的彈性勢(shì)能Ep．

Answer 1

分析 （1）小球a恰好能通過(guò)最高點(diǎn)，由重力充當(dāng)向心力，由向心力公式可得出小球a在A點(diǎn)的速度，由機(jī)械能守恒可得出a球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度．在C點(diǎn)，根據(jù)合力提供向心力，求軌道對(duì)a球的支持力，從而得到a球?qū)�軌道的壓力�?br />（2）對(duì)b球，根據(jù)動(dòng)能定理求出b球離開(kāi)彈簧時(shí)的速度大小v_b；釋放彈簧的過(guò)程，對(duì)系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒可得出彈簧的彈性勢(shì)能．

解答 解：（1）由a球恰好能到達(dá)A點(diǎn)，重力提供向心力，有：
m₁g=m₁$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
a球從C到A的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}$m₁v_C²-$\frac{1}{2}$m₁v_A²=m₁g•2R
得，小球a經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度：v_C=$\sqrt{5gR}$=5$\sqrt{2}$m/s
在C點(diǎn)，以a球?yàn)檠芯繉?duì)象，由牛頓第二定律得：
N-m₁g=m₁$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：N=6m₁g=120N
由牛頓第三定律知，a球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的作用力大小為120N，方向豎直向下．
（2）由數(shù)學(xué)知識(shí)可知斜面的傾角為53°，長(zhǎng)度為10R．
對(duì)于b球沿斜面上滑的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
  0-$\frac{1}{2}$m₂v_b²=-m₂g•8R-μm₂gcos53°•10R
代入數(shù)據(jù)得：v_b=10$\sqrt{2}$m/s
彈簧釋放的過(guò)程，對(duì)于系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律得：
  E_p=$\frac{1}{2}$m₁v_C²+$\frac{1}{2}$m₂v_b²
代入數(shù)據(jù)得：E_p=150J
答：（1）a球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的作用力大小為120N，方向豎直向下．
（2）釋放小球前彈簧的彈性勢(shì)能E_p是150J．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵：一要明確小球到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)的臨界條件：重力充當(dāng)向心力．二要明確有摩擦?xí)r往往運(yùn)用動(dòng)能定理求解速度．