Question

12．如圖所示，半徑為r、電阻不計(jì)的兩個(gè)半圓形光滑導(dǎo)軌豎直正對(duì)放置，間距為L(zhǎng)，軌道兩端所在平面剛好水平．在導(dǎo)軌M、N間接有阻值為R的小燈泡，整個(gè)軌道處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電阻不計(jì)的金屬棒ab從MN處由靜止釋放沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，金屬棒經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)導(dǎo)軌受到金屬棒的壓力大小為2mg（g為重力加速度），之后金屬棒能繼續(xù)上升$\frac{2}{5}$r高度到達(dá)PQ處（未畫出）速度才減為零．金屬棒始終與導(dǎo)軌垂直，且與導(dǎo)軌接觸良好．
（1）求金屬棒到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小
（2）求金屬棒從MN到PQ的過程中小燈泡上產(chǎn)生的熱量及流過小燈泡的電荷量．
（3）要使金屬棒沿導(dǎo)軌從PQ再回到MN，可對(duì)金屬棒施加一個(gè)力，這個(gè)力所做的總功至少為多少？

Answer 1

分析 （1）金屬棒經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)導(dǎo)軌受到金屬棒的壓力大小為2mg，根據(jù)牛頓第二定律列式求出金屬棒到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）根據(jù)能量守恒定律有，金屬棒從MN到PQ過程中減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小燈泡上產(chǎn)生的熱量，先計(jì)算金屬棒從MN到PQ的過程中平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，感應(yīng)電流的大小，再推導(dǎo)求出流過小燈泡的電荷量；
（3）要使金屬棒沿導(dǎo)軌從PQ再回到MN，施加的外力做的功轉(zhuǎn)化為了小燈泡上產(chǎn)生的熱量和金屬棒ab的重力勢(shì)能．

解答 解：（1）設(shè)金屬棒到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為v
金屬棒經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)導(dǎo)軌受到金屬棒的壓力大小為2mg，由牛頓第三定律可知
此時(shí)導(dǎo)軌對(duì)金屬棒的支持力F_N=2mg，方向豎直向上
在最低點(diǎn)由牛頓第二定律有：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{gr}$；
（2）根據(jù)能量守恒定律有，金屬棒從MN到PQ過程中減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小燈泡上產(chǎn)生的熱量
則小燈泡上產(chǎn)生的熱量Q=mg（r-$\frac{2}{5}r$）=$\frac{3mgr}{5}$
金屬棒ab切割磁感線產(chǎn)生的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=$\frac{B•△S}{△t}$
流過小燈泡的平均感應(yīng)電流$I=\frac{E}{R}$
則流過小燈泡的電荷量q=I•△t=$\frac{E}{R}•△t=\frac{B•△S}{R•△t}•△t=\frac{B•△S}{R}$
金屬棒從MN到PQ的過程中△S=L（r+$\sqrt{{r}^{2}-（r-\frac{2}{5}r）^{2}}$）=$\frac{9}{5}rL$
故q=$\frac{B•S}{R}=\frac{9BrL}{5R}$；
（3）要使金屬棒沿導(dǎo)軌從PQ再回到MN，施加的外力做的功轉(zhuǎn)化為了小燈泡上產(chǎn)生的熱量和金屬棒ab的重力勢(shì)能
由能量守恒定律有W=Q+mg（r-$\frac{2}{5}r$）=$\frac{6}{5}mgr$
答：（1）金屬棒到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\sqrt{gr}$；
（2）金屬棒從MN到PQ的過程中小燈泡上產(chǎn)生的熱量為$\frac{3}{5}mgr$，流過小燈泡的電荷量為$\frac{9BrL}{5R}$．
（3）要使金屬棒沿導(dǎo)軌從PQ再回到MN，可對(duì)金屬棒施加一個(gè)力，這個(gè)力所做的總功至少為$\frac{6}{5}mgr$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查電磁感應(yīng)與電路的綜合問題，解題關(guān)鍵是明確各個(gè)過程中能量的轉(zhuǎn)化關(guān)系，再結(jié)合能量守恒定律以及法拉第電磁感應(yīng)定律進(jìn)行求解．