Question

如圖所示（俯視），MN和PQ是兩根固定在同一水平面上的足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)的平行金屬導(dǎo)軌，兩導(dǎo)軌間距L=0.2m，其間有一個(gè)方向垂直水平面豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁=5.0T．導(dǎo)軌上NQ之間接一電阻R₁=0.40Ω，阻值為R₂=0.10Ω的金屬桿垂直導(dǎo)軌放置并與導(dǎo)軌始終保持良好接觸．兩導(dǎo)軌右端通過(guò)金屬導(dǎo)線分別與電容器C的兩極相連．電容器C緊挨帶有小孔的固定絕緣彈性圓筒，圓筒壁光滑，筒內(nèi)有垂直水平面豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂，O是圓筒的圓心，圓筒的內(nèi)半徑r=0.40m．

（1）用一個(gè)方向平行于MN水平向左且功率P=80W的外力F拉金屬桿，使桿從靜止開(kāi)始向左運(yùn)動(dòng)．已知桿受到的摩擦阻力大小恒為f=6N，求求當(dāng)金屬桿最終勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小；
（2）計(jì)算金屬桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)電容器兩極板間的電勢(shì)差；
（3）當(dāng)金屬桿處于（1）問(wèn)中的勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，電容器C內(nèi)緊靠極板D處的一個(gè)帶正電的粒子加速后從a孔垂直磁場(chǎng)B₂并正對(duì)著圓心O進(jìn)入圓筒中，該帶電粒子與圓筒壁碰撞兩次后恰好又從小孔a射出圓筒．已知該帶電粒子每次與筒壁發(fā)生碰撞時(shí)電量和能量都不損失，不計(jì)粒子的初速度、重力和空氣阻力，粒子的荷質(zhì)比

q

m

=5×10⁷C/kg，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小．

Answer 1

（1）金屬桿先做加速度變小的加速運(yùn)動(dòng)，最終以最大速度v_m勻速運(yùn)動(dòng)，
則電動(dòng)勢(shì)：E=B₁Lv_m
回路電流：I=

E

R1+R2

安培：力F=B₁IL
桿受力平衡：

P

vm

-F-f=0
聯(lián)立代入數(shù)據(jù)得：v_m=5m/s
（2）C與電阻R₁并聯(lián)，兩端電壓相等，桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)電容C板間電壓：U=

R1

R1+R2

E=4.0V
（3）設(shè)桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)帶電粒子進(jìn)入圓筒的速率為v、在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R
根據(jù)動(dòng)能定理：qU=

1

2

mv2
帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)：qvB2=m

v2

R

由題意知，2個(gè)碰撞點(diǎn)與小孔a恰好將圓筒壁三等分，粒子在圓筒內(nèi)的軌跡由3段相問(wèn)的圓弧組成，每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，
由幾何關(guān)系可得：tan

θ

2

=

r

R

解得：R=

2

5

3

m
聯(lián)立解得：B2=

1

R

2mU q

=

3

3

×10^-3T
答：（1）當(dāng)金屬桿最終勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小為5m/s；
（2）金屬桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)電容器兩極板間的電勢(shì)差為4V；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小為

3

3

×10-3T．