Question

(1）如圖1，在光滑水平長直軌道上，放著一個靜止的彈簧振子，它由一輕彈簧兩端各聯(lián)結(jié)一個小球構(gòu)成，兩小球質(zhì)量相等。現(xiàn)突然給左端小球一個向右的速度μ₀，求彈簧第一次恢復(fù)到自然長度時，每個小球的速度。

（2）如圖2，將N個這樣的振子放在該軌道上，最左邊的振子1被壓縮至彈簧為某一長度后鎖定，靜止在適當(dāng)位置上，這時它的彈性勢能為E₀。其余各振子間都有一定的距離，現(xiàn)解除對振子1的鎖定，任其自由運動，當(dāng)它第一次恢復(fù)到自然長度時，剛好與振子2碰撞，此后，繼續(xù)發(fā)生一系列碰撞，每個振子被碰后剛好都是在彈簧第一次恢復(fù)到自然長度時與下一個振子相碰.求所有可能的碰撞都發(fā)生后，每個振子彈性勢能的最大值。已知本題中兩球發(fā)生碰撞時，速度交換，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度。

Answer 1

(1）設(shè)每個小球質(zhì)量為，以、分別表示彈簧恢復(fù)到自然長度時左右兩端小球的速度. 由動量守恒和能量守恒定律有（以向右為速度正方向）    解得

由于振子從初始狀態(tài)到彈簧恢復(fù)到自然長度的過程中，彈簧一直是壓縮狀態(tài)，彈性力使左端小球持續(xù)減速，使右端小球持續(xù)加速，因此應(yīng)該取解：

（2）以v₁、v₁’分別表示振子1解除鎖定后彈簧恢復(fù)到自然長度時左右兩小球的速度，規(guī)定向右為速度的正方向，由動量守恒和能量守恒定律，mv₁＋mv₁′＝0 

  解得

在這一過程中，彈簧一直是壓縮狀態(tài)，彈性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故應(yīng)取解： 振子1與振子2碰撞后，由于交換速度，振子1右端小球速度變?yōu)?，左端小球速度仍為，此后兩小球都向左運動，當(dāng)它們向左的速度相同時，彈簧被拉伸至最長，彈性勢能最大，設(shè)此速度為，根據(jù)動量守恒定律：

用E₁表示最大彈性勢能，由能量守恒有

解得