Question

5．據(jù)有關(guān)資料介紹，受控?zé)岷司圩兎磻?yīng)裝置中有極高的溫度，因而帶電粒子將沒有通常意義上的容器可裝，而是由磁場約束帶電粒子運(yùn)動將其束縛在某個(gè)區(qū)域內(nèi)，現(xiàn)按下面的簡化條件來討論這個(gè)問題，如圖所示，有一個(gè)環(huán)形區(qū)域，其截面內(nèi)半徑為R₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，外半徑為R₂=1.0m，區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0T，被束縛粒子的荷質(zhì)比為$\frac{q}{m}$=4.0×10⁷C/kg，不計(jì)帶電粒子在運(yùn)動過程中的相互作用，不計(jì)帶電粒子的重力．
（1）若中空區(qū)域中的帶電粒子沿環(huán)的半徑方向射入磁場，求帶電粒子不能穿越磁場外邊界的最大速度v₀．
（2）若中空區(qū)域中的帶電粒子以（1）中的最大速度v₀從圓心O點(diǎn)沿圓環(huán)半徑方向射入磁場，求帶電粒子從進(jìn)入磁場開始到第一次回到該點(diǎn)所需要的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系與牛頓第二定律，即可求解；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系，可確定θ的值，并由周期公式與圓心角，可求出在磁場中運(yùn)動的時(shí)間，再由運(yùn)動學(xué)公式，可求出在磁場外運(yùn)動的時(shí)間，最后可確定總時(shí)間．

解答 解：（1）根據(jù)幾何關(guān)系，則有：${R_1}^2+{r^2}={（{R_2}-r）^2}$
解得：$r=\frac{1}{3}$
由牛頓第二定律，則有$q{v_0}B=m\frac{{{v_0}^2}}{r}$
解得：${v_0}=1.33×{10^7}m/s$
（2）如圖，則有：$tgθ=\frac{R_1}{r}=\sqrt{3}，θ=\frac{π}{3}$，
帶電粒子必須三次經(jīng)過磁場，才會回到該點(diǎn)
在磁場中的圓心角為$\frac{4}{3}π$，則在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為
${t_1}=3×\frac{2}{3}T=2T=\frac{4πm}{Bq}=3.14×{10^{-7}}s$
在磁場外運(yùn)動的時(shí)間為${t_2}=3×\frac{{2{R_1}}}{v_0}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}×{10^{-7}}s$
則    $t={t_1}+{t_2}=5.74×{10^{-7}}s$
答：（1）若中空區(qū)域中的帶電粒子由O點(diǎn)沿環(huán)的半徑方向射入磁場，求帶電粒子不能穿越磁場外邊界的最大速度：${v_0}=1.33×{10^7}m/s$．
（2）若中空區(qū)域中的帶電粒子以（1）中的最大速度v_o沿圓環(huán)半徑方向射入磁場，則帶電粒子從剛進(jìn)入磁場某點(diǎn)開始到第一次回到該點(diǎn)所需要的時(shí)間5.74×10^-7s．

點(diǎn)評 考查帶電粒子在磁場中的運(yùn)動，結(jié)合牛頓第二定律與運(yùn)動學(xué)公式，掌握如何畫出運(yùn)動軌跡圖，學(xué)會求在磁場中運(yùn)動的時(shí)間．