Question

如圖所示，水平傳送帶AB長(zhǎng)L=4.5m，質(zhì)量為M=1kg的木塊隨傳送帶一起以v₁=1m/s的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)（傳送帶的傳送速度恒定），木塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．當(dāng)木塊運(yùn)動(dòng)到傳送帶的最右端A點(diǎn)時(shí)，一顆質(zhì)量為m=20g的子彈以v₀=300m/s水平向左的速度正好射入木塊并穿出，穿出速度u=50m/s，以后每隔1s就有一顆子彈射向木塊，并從木塊中穿出，設(shè)子彈穿過(guò)木塊的時(shí)間極短，且每次射入點(diǎn)各不相同，g取10m/s²，求：
（1）在被第二顆子彈擊中前木塊向右運(yùn)動(dòng)到離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？
（2）木塊在傳送帶上最多能被多少顆子彈擊中？
（3）第一顆子彈射穿木塊時(shí)，從射中木塊到木塊相對(duì)傳送帶靜止的過(guò)程中，木塊和傳送帶摩擦?xí)r產(chǎn)生的熱能是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出第一顆子彈擊中木塊后，木塊的速度大小，木塊在傳送帶上先向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度減為零后再向右做勻加速運(yùn)動(dòng)直至與傳送帶同速．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出木塊與傳送帶保持相對(duì)靜止所需的時(shí)間等于子彈射出的時(shí)間間隔，根據(jù)動(dòng)能定理求出在被第二顆子彈擊中前木塊向右運(yùn)動(dòng)到離A點(diǎn)的距離．
（2）求出木塊減速到零相對(duì)于地面運(yùn)行的位移，結(jié)合每次子彈擊中木塊后，木塊相對(duì)于地面運(yùn)行的距離和AB的長(zhǎng)度求出最多能被幾顆子彈擊中．
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出第一顆子彈射穿木塊時(shí)，從射中木塊到木塊相對(duì)傳送帶靜止的過(guò)程中，木塊與傳送帶的相對(duì)位移，結(jié)合Q=f△x求出木塊和傳送帶摩擦?xí)r產(chǎn)生的熱能．

解答：解：（1）第一顆子彈擊中過(guò)程中，設(shè)子彈射穿木塊后，木塊的速度為v₂，子彈射穿木塊的過(guò)程中動(dòng)量守恒
mv₀-Mv₁=mu+Mv₂
解得：v₂=4m/s．
木塊在傳送帶上先向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度減為零后再向右做勻加速運(yùn)動(dòng)直至與傳送帶同速．設(shè)此過(guò)程中木塊運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t、對(duì)地的位移為S₁．以向右方向?yàn)檎�方向，則
f=μMg=Ma                                  
v₁-（-v₂）=at                                
解得t=

v1+v2

a

=

1+4

5

s=1s                     
由動(dòng)能定理得：-fs1=

1

2

Mv12-

1

2

Mv22
解得s1=

M(v12-v22)

-2f

=

1-16

-2×0.5×10

=1.5m．
故在被第二顆子彈擊中前木塊向右運(yùn)動(dòng)到離A點(diǎn)1.5米處．
（2）設(shè)木塊在傳送帶上向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，在速度減為零的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)對(duì)地運(yùn)動(dòng)的位移為S₂，由動(dòng)能定理得
s2=

0-Mv22

-2μMg

=

42

2×0.5×10

=1.6m         

L

s1

=

4.5

1.5

=3
由于s₂=1.6m故第三次子彈射穿木塊后，木塊將從傳送帶的左端滑下．
木塊在傳送帶上最多能被3顆子彈擊中．           
（3）設(shè)木塊在傳送帶上向左做勻減速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，此過(guò)程中傳送帶的位移為S₃，木塊再向右做勻加速運(yùn)動(dòng)直至與傳送帶同速過(guò)程中，木塊向右運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，位移為S₄，傳送帶的位移為S₅，則
0-（-v₂）=at₁                                   
解得t1=

0+v2

a

=

4

5

=0.8s                          
s₃=v₁t₁=1×0.8=0.8m                              
t₂=t-t₁=1-0.8=0.2s                            
s4=

.

v

t2=

0+1

2

×0.2=0.1m．
s₅=v₁t₂=1×0.2m=0.2m                            
因而子彈穿過(guò)木塊后，設(shè)木塊與傳送帶間發(fā)生的相對(duì)位移為△x，則
△x=s₂+s₃+（s₅-s₄）=2.5m．
則木塊和傳送帶摩擦?xí)r產(chǎn)生的熱能
Q=f△x=μMg△x=12.5J．
答：（1）在被第二顆子彈擊中前木塊向右運(yùn)動(dòng)到離A點(diǎn)1.5m．
（2）木塊在傳送帶上最多能被3顆子彈擊中．
（3）第一顆子彈射穿木塊時(shí)，從射中木塊到木塊相對(duì)傳送帶靜止的過(guò)程中，木塊和傳送帶摩擦?xí)r產(chǎn)生的熱能是12.5J．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清木塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，結(jié)合牛頓第二定律、動(dòng)量守恒定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．