Question

19．如圖，固定在水平地面上的凹槽，槽寬D=2.3m，左側(cè)槽緣高h(yuǎn)=0.6m、斜面傾角θ=45°，右側(cè)槽緣高H=0.8m、光滑圓弧形軌道足夠長(zhǎng)．長(zhǎng)L=1.6m、高H=0.8m、質(zhì)量m_A=1kg的木板A靜止在槽內(nèi)，左端距凹槽左側(cè)D₁=0.3m．可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊B，質(zhì)量m_B=2kg，放在A上表面的最左端．質(zhì)量m=1kg、v₀=10m/s的小球水平撞擊B后水平反彈，下落過程中剛好與斜面相切通過斜面最高點(diǎn)．已知A與B、A與凹槽底部的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為?₁=$\frac{1}{2}$、?₂=$\frac{1}{6}$，B向右滑行過程中未與A共速，A與凹槽左、右側(cè)碰撞后立即停止但不粘連，g取10m/s²．求：

（1）小球與B碰后，B獲得的速度v_B
（2）整個(gè)過程中A、B間摩擦產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）小球水平撞擊B后水平反彈后做平拋運(yùn)動(dòng)，由題意和速度的分解法得出分速度的關(guān)系，結(jié)合分位移公式求得小球與B撞擊后的速度．再對(duì)碰撞，由動(dòng)量守恒定律求B獲得的速度v_B．
（2）首先要判斷B向左移動(dòng)時(shí)是否與A共速．假設(shè)共速，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出B在A上滑行的位移，再作出判斷．再根據(jù)能量守恒定律求解摩擦產(chǎn)生的熱量Q．

解答 解：（1）設(shè)小球水平反彈的速度為v_x，從反彈到通過斜面最高點(diǎn)時(shí)的時(shí)間為t₀，豎直方向的速度為v_y，則有：tanθ=$\frac{v_y}{v_x}$ ①
豎直方向有 v_y=gt₀ ②
水平方向有 H-h=$\frac{1}{2}$gt₀² ③
設(shè)小球與B撞擊后，B獲得的為v_B，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律有：mv₀=-mv_x+m_Bv_B ④
聯(lián)立①②③④并代入數(shù)據(jù)得：v_x=2m/s，v_B=6m/s  ⑤
（2）設(shè)B滑上凹槽右側(cè)光滑軌道時(shí)的速度為v，由于B向右滑行過程中與A未共速，B對(duì)地移動(dòng)的距離為L(zhǎng)+D₂（依題意D₂=0.4m），由動(dòng)能定理：$\frac{1}{2}{m_B}{v^2}-\frac{1}{2}{m_B}v_B^2=-{μ_1}{m_B}$g（L+D）⑥
B沿弧形軌道返回到A的右端時(shí)速度大小仍為v，設(shè)B在A上減速滑行的加速度大小為a₁，A在凹槽內(nèi)加速滑行的加速度大小為a₂，則有：
   μ₁m_Bg=m_Ba₁ ⑦
 μ₁m_Bg-μ₂（m_A+m_B）g=m_Aa₂ ⑧
現(xiàn)判斷B向左移動(dòng)時(shí)是否與A共速．假設(shè)經(jīng)過時(shí)間t，A、B共速為v₁，則：
對(duì)B：v₁=v-a₁t ⑨
對(duì)A：v₁=a₂t ⑩
聯(lián)立⑥⑦⑧⑨⑩解得：v=4m/s，a₁=5m/s²，a₂=5m/s²，v₁=2m/s⑪
在時(shí)間t內(nèi)：B對(duì)地的位移：s₁=$\frac{v_2^2-v_1^2}{{2{a_1}}}$=1.2m⑫
A對(duì)地的位移：s=$\frac{v_2^2}{{2{a_2}}}=0.4m={D_2}＜（{D_1}+{D_2}）=0.7m$⑬
B在A上滑行的位移：△s=s₁-s=0.8m＜L=1.6m⑭
所以，A與凹槽左側(cè)相碰前，B未滑離A上表面并與A達(dá)到共速．
A、B以v₁的速度一起減速到A與凹槽左側(cè)相碰，設(shè)A與凹槽左側(cè)相碰時(shí)速度為v₂，則有：
-μ₂（m_A+m_B）gD₁=$\frac{1}{2}（{m_A}+{m_B}）v_2^2-\frac{1}{2}（{m_A}+{m_B}）v_1^2$
A與凹槽左邊緣相碰后B在A上滑行的距離：s₂=$\frac{v_2^2}{{2{a_1}}}$⑮
解得 s₂=0.3m
即B最終未滑離A上表面，因?yàn)閟₂＜L-△s=0.8m⑰
整個(gè)過程A、B間摩擦產(chǎn)生的熱量：Q=μ₁m_Bg（L+△s+s₂）⑱
聯(lián)立⑮⑯⑰并代入數(shù)據(jù)解得：Q=27J⑲
答：
（1）小球與B碰后，B獲得的速度v_B是6m/s．
（2）整個(gè)過程中A、B間摩擦產(chǎn)生的熱量Q是27J．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道力學(xué)綜合題，關(guān)鍵要分析清楚物塊的運(yùn)動(dòng)情況，把握每個(gè)過程的物理規(guī)律，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律以及動(dòng)量守恒定律解題．