Question

14．在學(xué)校組織的趣味運(yùn)動會上，科技小組為大家提供了一個寓學(xué)于樂的游戲．如圖所示，將一質(zhì)量為0.2kg的鋼球放在O點，用彈射裝置將其彈出，其實沿著光滑的半環(huán)形軌道OA和AB運(yùn)動，BC段為一段長為L=2.5m的粗糙平面，DEFG為接球槽．圓弧OA和AB的半徑分別為R₁=0.2m，R₂=0.4m，小球與BC段的動摩擦因數(shù)為μ=0.6，C點離接球槽的高度為h=1.25m，水平距離為x=0.5m，接球槽足夠大，求：
（1）要使鋼球恰好不脫離圓軌道，鋼球在A點的速度多大？
（2）（1）小題速度下運(yùn)動到B，在B位置對半圓軌道的壓力多大？
（3）這小球能否落進(jìn)接球槽里？

Answer 1

分析 （1）抓住小球恰好能通過A點，結(jié)合牛頓第二定律求出鋼球在A點的速度．
（2）根據(jù)動能定理求出鋼球在B點的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出軌道對鋼球的支持力，從而得出鋼球?qū)Π雸A軌道的壓力．
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律求出小球進(jìn)入球槽的最小速度，抓住小球恰好通過A點，結(jié)合動能定理得出C點的速度，通過比較判斷鋼球能否落入球槽．

解答 解：（1）要使鋼球恰好不脫離軌道對最高點A：
$mg=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{{R}_{2}}$，
解得${v}_{A}=\sqrt{g{R}_{2}}=\sqrt{10×0.4}$m/s=2m/s．
（2）鋼球從A到B的過程：$mg•2{R}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，
在B點，根據(jù)牛頓第二定律有：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{{R}_{2}}$，
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得F_N=12N，
據(jù)牛頓第三定律，鋼球在B位置對半圓軌道的壓力為12N．
（3）要使鋼球能落入槽中從C到D平拋，
根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律有：x=v_ct，h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得v_C=1m/s．
假設(shè)鋼球在A點的速度恰為v_A=2m/s時，鋼球可運(yùn)動到C點，且速度為v_C′，
從A到C，根據(jù)動能定理得，$mg•2R-μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{C}{′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，解得${v}_{C}{′}^{2}＜0$，
故當(dāng)鋼球在A點的 速度恰為v_A=2m/s時，鋼球不可能到達(dá)C點，更不可能平拋入槽．
答：（1）要使鋼球恰好不脫離圓軌道，鋼球在A點的速度為2m/s；
（2）在B位置對半圓軌道的壓力為12N；
（3）這小球不能落進(jìn)接球槽里．

點評 本題考查了動能定理、牛頓第二定律和平拋運(yùn)動、圓周運(yùn)動的綜合運(yùn)用，知道圓周運(yùn)動向心力的來源以及平拋運(yùn)動在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．