Question

2．一個(gè)人造天體飛臨某個(gè)行星，并進(jìn)入行星表面的圓軌道，已經(jīng)測(cè)出該天體環(huán)繞行星一周所用的時(shí)間為T(mén)，已知行星的半徑為R，萬(wàn)有引力恒量為G，那么這顆行星的質(zhì)量和密度各是多少？

Answer 1

分析 人造天體繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質(zhì)量，根據(jù)密度公式求出密度．

解答 解：研究人造天體繞行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
根據(jù)密度公式得出：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$
答：這顆行星的質(zhì)量為$\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，密度是$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力在天體中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于找出向心力的來(lái)源，并能列出等式解題．在行星表面運(yùn)動(dòng)，軌道半徑可以認(rèn)為就是行星的半徑．