Question

12．若動(dòng)能相等的兩人造地球衛(wèi)星A、B的軌道半徑之比R_A：R_B=1：2，則
（1）它們的角速度之比ω_A：ω_B是多少？
（2）它們的線速度之比V_A：V_B是多少？
（3）質(zhì)量之比m_A：m_B又是多少？

Answer 1

分析 （1）萬有引力提供向心力，由于牛頓第二定律求出角速度，然后求出角速度之比；
（2）萬有引力提供向心力，由于牛頓第二定律求出線速度，然后求出線速度之比；
（3）根據(jù)動(dòng)能的計(jì)算公式求出衛(wèi)星的質(zhì)量之比．

解答 解：（1）由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mω²r
解得：ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，
兩衛(wèi)星的角速度之比：$\frac{{ω}_{A}}{{ω}_{B}}$=$\sqrt{\frac{{R}_{B}^{3}}{{R}_{A}^{3}}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{1}$；
（2）由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
則兩衛(wèi)星的線速度之比：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\sqrt{\frac{{R}_{B}}{{R}_{A}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{1}$；
（3）A、B兩衛(wèi)星動(dòng)能相等，即：$\frac{1}{2}$m_Av_A²=$\frac{1}{2}$m_Bv_B²，
衛(wèi)星的質(zhì)量之比：$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$=$\frac{{v}_{B}^{2}}{{v}_{A}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；
答：（1）它們的角速度之比ω_A：ω_B是2$\sqrt{2}$：1；
（2）它們的線速度之比V_A：V_B是$\sqrt{2}$：1；
（3）質(zhì)量之比m_A：m_B是1：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬有引力定律的應(yīng)用，應(yīng)明確求解衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的思路是地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力等于衛(wèi)星需要的向心力，注意靈活選取線速度和角速度表示向心力．