Question

如圖所示，一個(gè)半徑R=1.0m的圓弧形光滑軌道固定在豎直平面內(nèi)，軌道的一個(gè)端點(diǎn)B和圓心O的連線與豎直方向夾角θ=60°，C為軌道最低點(diǎn)，D為軌道最高點(diǎn)．一個(gè)質(zhì)量m=0.50kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)）從空中A點(diǎn)以v₀=4.0m/s的速度水平拋出，恰好從軌道的B端沿切線方向進(jìn)入軌道．重力加速度g取10m/s²．試求：
（1）小球拋出點(diǎn)A距圓弧軌道B端的高度h．
（2）小球經(jīng)過(guò)軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力F_C．
（3）小球能否到達(dá)軌道最高點(diǎn)D？若能到達(dá)，試求對(duì)D點(diǎn)的壓力F_D．若不能到達(dá)，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)小球恰好從軌道的B端沿切線方向進(jìn)入軌道，說(shuō)明小球的末速度應(yīng)該沿著B(niǎo)點(diǎn)切線方向，再由圓的半徑和角度的關(guān)系，可以求出B點(diǎn)切線的方向，即平拋末速度的方向，從而可以求得豎直方向分速度．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律求得C點(diǎn)速度，根據(jù)牛頓定律求得壓力．
設(shè)小球能到達(dá)D點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求得D點(diǎn)速度，再運(yùn)用牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)求解．

解答：解：（1）小球恰好從軌道的B端沿切線方向進(jìn)入軌道，說(shuō)明小球的末速度應(yīng)該沿著B(niǎo)點(diǎn)切線方向，
將平拋末速度進(jìn)行分解，根據(jù)幾何關(guān)系得：
B點(diǎn)速度在豎直方向的分量：vy=v0tan60°=4

3

m/s                       
豎直方向的分運(yùn)動(dòng)為自由落體運(yùn)動(dòng)．h=

v 2 y

2g

=

48

20

=2.4m                    
（2）由機(jī)械能守恒定律，有

1

2

m

v

2 C

=

1

2

m

v

2 0

+mg(h+R-Rcosθ)
得v_C²=74m²/s²     
根據(jù)牛頓第二定律，有F′C-mg=

m v 2 C

R

，
解得F'_C=42N               
根據(jù)牛頓第三定律，F(xiàn)=F'=42N，方向豎直向下．                         
（3）設(shè)小球能到達(dá)D點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有

1

2

m

v

2 D

=

1

2

m

v

2 0

+mg(h-R-Rcosθ)
解得vD=

34

＞

gR

，即小球能到達(dá)D點(diǎn)．                               
根據(jù)牛頓定律，有F′D+mg=

m v 2 D

R

代入數(shù)據(jù)，解得小球受到的壓力F'_D=12N
根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)�軌道的壓力為F_D=F'_D=12N，方向豎直向上．     
答：（1）小球拋出點(diǎn)A距圓弧軌道B端的高度h是2.4m．
（2）小球經(jīng)過(guò)軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力是42N，方向豎直向下．
（3）小球能到達(dá)D點(diǎn)，對(duì)D點(diǎn)的壓力是12N，方向豎直向上．

點(diǎn)評(píng)：恰能無(wú)碰撞地沿圓弧切線從B點(diǎn)進(jìn)入光滑豎直圓弧軌道，這是解這道題的關(guān)鍵，理解了這句話就可以求得小球的末速度，本題很好的把平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合在一起運(yùn)用機(jī)械能守恒解決，能夠很好的考查學(xué)生的能力，是道好題．