Question

如圖所示，兩個(gè)等高的臺(tái)階P和Q相距d=4m，臺(tái)階面和它們之間的水平地面均光滑．在地面上靠近P臺(tái)階處?kù)o止有一輛質(zhì)量為M=2kg的平板小車，車的上表面與臺(tái)階面齊平．一質(zhì)量為m=6kg的貨物（可視為質(zhì)點(diǎn)）以初速度v₀=4m/s在從臺(tái)階P沖上小車．貨物與平板車之間的摩擦系數(shù)為μ=0.2，小車與臺(tái)階的碰撞沒有機(jī)械能損失．
（1）若小車與臺(tái)階Q第一次碰撞時(shí)，貨物已經(jīng)在車的最右端與小車相對(duì)靜止，求小車的長(zhǎng)度L；
（2）在第（1）問情況下，貨物從離開臺(tái)階P到?jīng)_上臺(tái)階Q所需的時(shí)間t；
（3）若臺(tái)階P、Q間的距離足夠長(zhǎng)，其他條件不變，要讓貨物能沖上臺(tái)階Q，求小車所有可能的長(zhǎng)度．

Answer 1

（1）貨物沖上平板車到達(dá)到共同速度，以貨物與車組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，以貨物的初速度方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律得：
mv₀=（M+m）v_共1，
由能量守恒定律得：

1

2

m

v

20

=

1

2

(M+m)

v

2共1

+μmgL，
聯(lián)立代入數(shù)據(jù)得：v_共1=3m/s，L=1m；
（2）貨物沖上平板車到達(dá)到共同速度，對(duì)貨物，由動(dòng)量定理得：
-μmgt₁=mv_共1-mv₀
由動(dòng)能定理得：-μmgx1=

1

2

m

v

2共1

-

1

2

m

v

20

，
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：t₁=0.5s x₁=1.75m，
之后勻運(yùn)動(dòng)直至與臺(tái)階Q相碰：t₂=

d-x1

V共1

=0.75s
從P到Q總用：t=t₁+t₂=0.5+0.75=1.25s，
（3）PQ間距離足夠長(zhǎng)，貨物與小車第一次達(dá)到共同速度的值不受影響．v_共1=3m/s
Q第一次碰后會(huì)第二次達(dá)到共同速度，以貨物初速度方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律得：
mv_共1-Mv_共1=（M+m）v_共2
解得：v共2=

1

2

v共1，方向向右；
小車再與Q碰撞．碰后的情況與之前的情況類似．所以，第n次達(dá)到共同速度時(shí)：v共n=(

1

2

)n-1v共1，
若第n次達(dá)到共同速度時(shí)，貨物恰好出現(xiàn)在小車右端，則貨物可以沖上臺(tái)階Q．
從沖上小車到?jīng)_上Q，整個(gè)過程貨物只相對(duì)小車向右單向運(yùn)動(dòng)．對(duì)系統(tǒng)
由動(dòng)能定理得：-μmgL1=

1

2

(m+M)

v

2共n

-

1

2

m

v

20

，
解得：L₁=4-

2

4n-1

（n=1、2、3…）
答：（1）小車的長(zhǎng)度1m；
（2）貨物從離開臺(tái)階P到?jīng)_上臺(tái)階Q所需的時(shí)間為1.25s；
（3）小車所有可能的長(zhǎng)度4-

2

4n-1

（n=1、2、3…）．