Question

(1)如圖1，在光滑水平長直軌道上，放著一個(gè)靜止的彈簧振子，它由一輕彈簧兩端各聯(lián)結(jié)一個(gè)小球構(gòu)成，兩小球質(zhì)量相等，現(xiàn)突然給左端小球一個(gè)向右的速度u₀，求彈簧第一次恢復(fù)到自然長度時(shí)，每個(gè)小球的速度．

(2)如圖2，將N個(gè)這樣的振子放在該軌道上，最左邊的振子1被壓縮至彈簧為某一長度后鎖定，靜止在適當(dāng)位置上，這時(shí)它的彈性勢能為E₀，其余各振子間都有一定的距離．現(xiàn)解除對振子1的鎖定，任其自由運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它第一次恢復(fù)到自然長度時(shí)，剛好與振子2碰撞，此后，繼續(xù)發(fā)生一系列碰撞，每個(gè)振子被碰后剛好都是在彈簧第一次恢復(fù)到自然長度時(shí)與下一個(gè)振子相碰．求所有可能的碰撞都發(fā)生后，每個(gè)振子彈性勢能的最大值．已知本題中兩球發(fā)生碰撞時(shí)，速度交換，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度．

Answer 1

答案：
解析：

(1)設(shè)每個(gè)小球質(zhì)量為m，以u1、u2分別表示彈簧恢復(fù)到自然長度時(shí)左右兩端小球的速度．由動(dòng)量守恒和能量守恒定律有 　　   mu1＋mu2＝mu0(以向右為速度正方向) 　　   ＋＝　   　解得　　u1＝u0，u2＝0　　或　　u1＝0，u2＝u0． 　　由于振子從初始狀態(tài)到彈簧恢復(fù)到自然長度的過程中，彈簧一直是壓縮狀態(tài)，彈性力使左端小球持續(xù)減速，使右端小球持續(xù)加速，因此應(yīng)該取解： 　　   u1＝0，u2＝u0 　　(2)以v1、分別表示振子1解除鎖定后彈簧恢復(fù)到自然長度時(shí)左右兩小球的速度，規(guī)定向右為速度的正方向，由動(dòng)量守恒和能量守恒定律， 　　    mv1＋m＝0　  　＋＝E0 　　解得　　v1＝，＝－     或　　  v1＝－，＝． 　　在這一過程中，彈簧一直是壓縮狀態(tài)，彈性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故應(yīng)取解： 　　　　   v1＝－，＝ 　　振子1與振子2碰撞后，由于交換速度，振子1右端小球速度變?yōu)?，左端小球速度仍為v1，此后兩小球都向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它們向左的速度相同時(shí)，彈簧被拉伸至最長，彈性勢能最大．設(shè)此速度為v10，根據(jù)動(dòng)量守恒定律： 　　　　   2mv10＝mv1　 　用E1表示最大彈性勢能，由能量守恒有 　　　   　＋＋E1＝　　解得E1＝E0