Question

（2005?廣州模擬）如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量均為4m的小球A和B由輕彈簧連接，置于光滑水平面上．一顆質(zhì)量為m子彈，以水平速度v₀射入A球，并在極短時(shí)間內(nèi)嵌在其中．求：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中
（1）什么時(shí)候彈簧的彈性勢(shì)能最大，最大值是多少？
（2）A球的最小速度和B球的最大速度．

Answer 1

分析：（1）子彈擊中A球的過(guò)程中，動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律求出A球的速度，當(dāng)AB兩球速度相等，彈簧壓縮量最大時(shí)，彈簧彈性勢(shì)能最大，由動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律可以求出彈簧彈性勢(shì)能的最大值．
（2）當(dāng)彈簧伸長(zhǎng)量最大時(shí)，A球的速度最小，B球的速度最大，由動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律可以求出A、B兩球的速度．

解答：解：整個(gè)過(guò)程分析：子彈擊中A的過(guò)程，子彈與A組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒；子彈、A球一起向右運(yùn)動(dòng)，彈簧因被壓縮而產(chǎn)生彈力．A球開(kāi)始減速，B球開(kāi)始加速；當(dāng)兩球速度相等時(shí)，彈簧壓縮量達(dá)到最大值，此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大；接著，彈簧開(kāi)始伸長(zhǎng)，彈力繼續(xù)使B加速而使A減速；當(dāng)彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)，B球速度達(dá)到最大值，A球速度達(dá)到最小值；然后，彈簧又開(kāi)始伸長(zhǎng)，使A球加速，使B球減速．當(dāng)兩球速度相等時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量達(dá)到最大（此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能與壓縮量最大時(shí)的彈性勢(shì)能相等）…如此反復(fù)進(jìn)行．所以，兩球的速度達(dá)到極值的條件--彈簧形變量為零．
（1）設(shè)A、B的質(zhì)量為M，由題意知M=4m，
子彈擊中A的過(guò)程，子彈與A組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，
由動(dòng)量守恒定律得：mv₀=（m+M）V  ①，
以子彈、A球、B球作為一系統(tǒng)，以子彈和A球有共同速度為初態(tài)，
子彈、A球、B球速度相同時(shí)為末態(tài)，對(duì)系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得：
（m+M）V=（m+M+M）V′②，
由能量守恒定律得：

1

2

(m+M)V2=

1

2

(m+M+M)V′2+EP  ③，
解得：EP=

2m v 2 0

45

  ④；
（2）以子彈和A球有共同速度為初態(tài)，子彈和A球速度最小、B球速度最大為末態(tài)則
由動(dòng)量守恒定律得：（m+M）V=（m+M）V_A+MV_B ⑤，
由能量守恒定律得：

1

2

(m+M)V2=

1

2

(m+M)

V

2 A

+

1

2

M

V

2 B

  ⑥，
解得：VA=

1

45

v0VB=

2

9

v0  ⑦，或V_A=

1

5

v₀，V_B=0   ⑧，
根據(jù)題意求A球的最小速度和B球的最大速度，所以V_Amin=

1

45

v₀，V_Bmax=

2

9

v₀；
答：（1）A、B兩球速度相等，彈簧壓縮量最大時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大，最大值是

2m v 2 0

45

；
（2）A球的最小速度為

1

45

v₀，B球的最大速度為

2

9

v₀．

點(diǎn)評(píng)：分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的關(guān)鍵，分析清楚運(yùn)動(dòng)過(guò)程后，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律即可正確解題．