Question

（25分）磁懸浮列車是一種高速運載工具。它具有兩個重要系統(tǒng)。一是懸浮系統(tǒng)，利用磁力（可由超導(dǎo)電磁鐵提供）使車體在導(dǎo)軌上懸浮起來與軌道脫離接觸。另一是驅(qū)動系統(tǒng)，在沿軌道上安裝的三相繞組（線圈）中，通上三相交流電，產(chǎn)生隨時間、空間作周期性變化的磁場，磁場與固連在車體下端的感應(yīng)金屬板相互作用，使車體獲得牽引力。

    為了有助于了解磁懸浮列車的牽引力的來由，我們求解下面的問題。

設(shè)有一與軌道平面垂直的磁場，磁感應(yīng)強度B隨時間t和空間位置x變化規(guī)律為

式中、、均為已知常量，坐標(biāo)軸x與軌道平行。在任一時刻t，軌道平面上磁場沿x方向的分布是不均勻的，如圖所示。圖中Oxy平面代表軌道平面，“×”表示磁場的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙里，“? ”表示磁場的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙外。規(guī)定指向紙外時B取正值�！啊痢焙汀�? ”的疏密程度表示沿著x軸B的大小分布。一與軌道平面平行的具有一定質(zhì)量的金屬矩形框MNPQ處在該磁場中，已知與軌道垂直的金屬框邊MN的長度為，與軌道平行的金屬框邊MQ的長度為d，金屬框的電阻為R，不計金屬框的電感。

1．試求在時刻t，當(dāng)金屬框的MN邊位于x處時磁場作用于金屬框的安培力，設(shè)此時刻金屬框沿x軸正方向移動的速度為。

2.試討論安培力的大小與金屬框幾何尺寸的關(guān)系。

Answer 1

解析：

1．題給的磁場隨時間和空間的變化具有周期性，在某時刻，磁場的空間分布為

   

在時刻，磁場的空間分布為

        

比較上面兩式，不難看出，和這兩個時刻的磁場的空間分布規(guī)律是相同的，只是時刻原位于處的磁場，經(jīng)歷時間，在時刻，出現(xiàn)在處．即整個磁場的分布經(jīng)時間間隔沿x軸的正方向平移了一段距離

   

平移速度

        （1）

平移速度為恒量．由此可見，題給出的磁場可視為一在空間按余弦規(guī)律分布的非均勻磁場區(qū)域以速度沿x軸的正方向平移．如果金屬框移動的速度小于磁場區(qū)域平移的速度，那么通過金屬框的磁通將隨時間發(fā)生變化，從而在金屬框中產(chǎn)生感應(yīng)電流，感應(yīng)電流將受到磁場的安培力作用．

由題已知，在時刻t，金屬框移動的速度為，金屬框MN邊位于坐標(biāo)x處，PQ邊位于坐標(biāo)處．設(shè)此時金屬框的磁通為（規(guī)定由紙內(nèi)到紙外為正）；經(jīng)過一很短的時間間隔，整個磁場分布區(qū)域向x方向移動了一段距離，金屬框向x方向移動了一段距離，其結(jié)果是：MN邊左側(cè)穿過面積為的磁通移進了金屬框，PQ邊左側(cè)穿過面積為的磁通移出了金屬框，故在時刻，通過金屬框的磁通為

   

在時間間隔內(nèi)，通過金屬框的磁通增量為

        （2）

規(guī)定框內(nèi)的感應(yīng)電動勢沿順時針方向（沿回路MNPQM方向)為正，由電磁感應(yīng)定律，可得t時刻的感應(yīng)電動勢

        （3）

規(guī)定金屬框內(nèi)的感應(yīng)電流沿順時針方向（沿回路MNPQM方向)為正，可得t時刻的感應(yīng)電流為

        (4)

磁場對于上下兩邊NP和MQ的安培力的大小相等，方向相反，二者的合力為零．規(guī)定向右的力為正，則磁場作用于金屬框MN邊的安培力為；由于PQ邊和MN邊的電流方向相反，磁場作用于金屬框PQ邊的安培力為 ，故金屬框的安培力的合力

        （5）

由（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式及題給定的磁場分布規(guī)律，得

        （6）

利用三角學(xué)公式，得

    （7）

   

稱為安培力的幅度．從（7）式可以看出，安培力在的幅度內(nèi)隨時間變化，但其值不會小于零，表示磁場作用于金屬框的安培力始終向右．

2．討論安培力的大小與線框幾何尺寸的關(guān)系就是討論與線框幾何尺寸的關(guān)系．與金屬框長度l的平方成正比，與金屬框的寬度d有關(guān)：

當(dāng)， 即   

              （8）

得   

        （9）

當(dāng)，即

        （10）

達最大值   

        （11）

當(dāng)d取其它值時，介于0與最大值之間．