Question

如圖所示，某一空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)．左側(cè)區(qū)域勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向水平向右，電場(chǎng)寬度為L(zhǎng)；中間區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外．右側(cè)區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B，方向垂直紙面向里，其右邊界可向右邊無限延伸．一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子（重力不計(jì)）從電場(chǎng)左邊界上的O點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，穿過中間的磁場(chǎng)區(qū)域后進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域，又回到O點(diǎn)，然后重復(fù)上述過程．求：
（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率；
（2）中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d；
（3）帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到O點(diǎn)所用的時(shí)間t．

Answer 1

分析：（1）帶正電的粒子在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，垂直進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)動(dòng)能定理即可求解帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率；
（2）粒子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出軌跡的半徑．根據(jù)幾何關(guān)系求解中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度；
（3）先求出在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求出在兩段磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，三者之和即可帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到O點(diǎn)所用時(shí)間．

解答：解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中加速過程，由動(dòng)能定理得：
qEL=

1

2

mv2，得v=

2qEL m

（2）設(shè)粒子在兩磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r₁和r₂．
由qvB=m

v2

r

得，r₁=

m 2qEL

qB

，r₂=

m 2qEL

2qB

畫出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖．設(shè)兩軌跡圓心連線與磁場(chǎng)邊界成θ角，則由幾何知識(shí)得
   2（r₁-r₁cosθ）=2r₂cosθ
又r₁=2r₂，
解得，cosθ=

2

3

，則sinθ=

1-cos2θ

=

5

3

故中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d=r₁sinθ=

m 10qEL

3qB

（3）以t₁、t₂、t₃分別表示粒子在電場(chǎng)、中間磁場(chǎng)及右邊磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，則
   L=

.

v

t1=

v

2

t1
  vt₂=r₁?2θ
  vt₃=r₂?（π+2θ）
總時(shí)間為t=t=t₁+t₂+t₃=2

2mL qE

+

m

2qB

（π+6arccos

2

3

）
答：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率是

2qEL m

；
（2）中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d是

m 10qEL

3qB

；
（3）帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到O點(diǎn)所用的時(shí)間t是2

2mL qE

+

m

2qB

（π+6arccos

2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，解題關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求解軌跡半徑．