Question

1．在絕緣光滑的水平面上放有一質量為m、邊長為L的正方形線框cdef，線框的總電阻為R，xOy是一建立在該水平面內的平面直角坐標系，線框所在空間存在著方向垂直于xOy平面的磁場，在坐標為（x，y）處磁場的磁感應強度大小為B=B₀+kx，式中B₀、k均為常數．t=0時刻，線框的cd邊位于x=0處且線框處于靜止，如圖所示，從t=0時刻開始，給線框施一沿x軸正方向的外力，使線框以加速度a向右做勻加速運動．試求在t=t₀時刻：
（1）線框產生的感應電動勢的大�。�
（2）沿x軸正方向的水平外力的大�。�

Answer 1

分析 （1）線框做勻加速運動，由運動學公式求出t₀時間內的位移，再由法拉第電磁感應定律求感應電動勢．
（2）由閉合電路歐姆定律求出感應電流，由F=BIL求出線框所受的安培力，最后由牛頓第二定律求水平外力的大�。�

解答 解：（1）線框做勻加速運動，t₀時間內的位移為：x=$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
t₀時刻線框的速度為：v=at₀
cd邊產生的感應電動勢大小為：E₁=（B₀+kx）Lv
fe邊產生的感應電動勢大小為：E₂=[B₀+k（x+L）]Lv
回路總的感應電動勢為：E=E₂-E₁=kL²vx=$\frac{1}{2}k{L}^{2}va{t}_{0}^{2}$
（2）線框中感應電流為：I=$\frac{E}{R}$
cd邊所受的安培力大小為：F₁=（B₀+kx）IL，方向向右
fe邊所受的安培力大小為：F₂=[B₀+k（x+L）]IL，方向向左
所以線框所受的安培力為F_A=F₂-F₁=kIL²，方向向左
根據牛頓第二定律得：F-F_A=ma
聯(lián)立解得水平外力為：F=ma+$\frac{{k}^{2}{L}^{4}va{t}_{0}^{2}}{2R}$
答：（1）線框產生的感應電動勢的大小是$\frac{1}{2}k{L}^{2}va{t}_{0}^{2}$．
（2）沿x軸正方向的水平外力的大小是ma+$\frac{{k}^{2}{L}^{4}va{t}_{0}^{2}}{2R}$．

點評 本題要掌握法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律和安培力的公式，關鍵要注意cd邊和fe邊都要產生感應電動勢，存在反電動勢．兩邊都要受到安培力，安培力方向相反．知道加速度與線框所受的合力成正比．