Question

15．如圖為某種魚餌自動投放器的裝置示意圖，其下半部AB是一長為2R的豎直細管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口C處切線水平，AB管內(nèi)有原長為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧．在彈簧上端放置一粒質(zhì)量為m的魚餌，解除鎖定后彈簧可將魚餌彈射出去．投餌時，每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定，此時彈簧的彈性勢能為6mgR （g為重力加速度）．不計魚餌在運動過程中的機械能損失，求：
（1）魚餌到達管口C時的速度大小v₁：
（2）魚餌到達管口C時對管子的作用力大小和方向：
（3）已知地面比水面高出1.5R，若豎直細管的長度可以調(diào)節(jié)，圓孤彎道管BC可隨豎直細管-起升降．求魚餌到達水面的落點與AB所在豎直線OO′之間的最大距離L_max．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)能量守恒定律求出魚餌到達管口C時的速度大小．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出管口對魚餌的作用力大小，從而結(jié)合牛頓第二定律求出魚餌對管子的作用力大小和方向．
（3）根據(jù)機械能守恒定律求出平拋運動的初速度，結(jié)合平拋運動的規(guī)律求出水平位移的表達式，通過數(shù)學知識得出魚餌到達水面的落點與AB所在豎直線OO′之間的最大距離．

解答 解：（1）魚餌到達管口C的過程中彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化為魚餌的重力勢能和動能，
有：$6mgR=2.5mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得${v}_{1}=\sqrt{7gR}$．
（2）設(shè)C處管子對魚餌的作用力向下，大小設(shè)為F，
根據(jù)牛頓第二定律有：$mg+F=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
解得F=6mg，
由牛頓第三定律可得魚餌對管子的作用力F′=6mg，方向向上．
（3）設(shè)AB長度為h，對應(yīng)平拋水平距離為x，
由機械能守恒定律有：$6mgR=mg（R+h-0.5R）+\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
由平拋運動的規(guī)律得，x=vt，$2.5R+h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得x=$\sqrt{2g（5.5R-h）}\sqrt{\frac{2（2.5R+h）}{g}}$=$2\sqrt{（5.5R-h）（2.5R+h）}$，
當h=1.5R時，x的最大值x_max=8R，
則L_max=x_max+R=9R．
答：（1）魚餌到達管口C時的速度大小為$\sqrt{7gR}$；
（2）魚餌到達管口C時對管子的作用力大小為6mg，方向向上；
（3）魚餌到達水面的落點與AB所在豎直線OO′之間的最大距離為9R．

點評 本題考查了圓周運動最高點的動力學方程以及機械能守恒定律的應(yīng)用，知道圓周運動向心力的來源，以及平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．