Question

（25分）宇宙飛行器和小行星都繞太陽(yáng)在同一平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，飛行器的質(zhì)量比小行星的質(zhì)量小得很多，飛行器的速率為，小行星的軌道半徑為飛行器軌道半徑的6倍．有人企圖借助飛行器與小行星的碰撞使飛行器飛出太陽(yáng)系，于是他便設(shè)計(jì)了如下方案：Ⅰ. 當(dāng)飛行器在其圓周軌道的適當(dāng)位置時(shí)，突然點(diǎn)燃飛行器上的噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，經(jīng)過(guò)極短時(shí)間后立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，以使飛行器獲得所需的速度，沿圓周軌道的切線方向離開(kāi)圓軌道；Ⅱ. 飛行器到達(dá)小行星的軌道時(shí)正好位于小行星的前緣，速度的方向和小行星在該處速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；Ⅲ. 小行星與飛行器的碰撞是彈性正碰，不計(jì)燃燒的燃料質(zhì)量．

    1．試通過(guò)計(jì)算證明按上述方案能使飛行器飛出太陽(yáng)系；

    2．設(shè)在上述方案中，飛行器從發(fā)動(dòng)機(jī)取得的能量為．如果不采取上述方案而是令飛行器在圓軌道上突然點(diǎn)燃噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，經(jīng)過(guò)極短時(shí)間后立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，以使飛行器獲得足夠的速度沿圓軌道切線方向離開(kāi)圓軌道后能直接飛出太陽(yáng)系．采用這種辦法時(shí)，飛行器從發(fā)動(dòng)機(jī)取得的能量的最小值用表示，問(wèn)為多少?

Answer 1

解析：

1．設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為，飛行器的質(zhì)量為，飛行器繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為．根據(jù)所設(shè)計(jì)的方案，可知飛行器是從其原來(lái)的圓軌道上某處出發(fā)，沿著半個(gè)橢圓軌道到達(dá)小行星軌道上的，該橢圓既與飛行器原來(lái)的圓軌道相切，又與小行星的圓軌道相切．要使飛行器沿此橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，應(yīng)點(diǎn)燃發(fā)動(dòng)機(jī)使飛行器的速度在極短的時(shí)間內(nèi)，由變?yōu)槟骋恢?IMG height=23 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090731/20090731143530005.gif' width=17>．設(shè)飛行器沿橢圓軌道到達(dá)小行星軌道時(shí)的速度為，因大小為和的這兩個(gè)速度的方向都與橢圓的長(zhǎng)軸垂直，由開(kāi)普勒第二定律可得

                                          （1）

由能量關(guān)系，有

                     （2）

由牛頓萬(wàn)有引力定律，有

或

                                         （3）

解（1）、（2）、（3）三式得

                                          （4）

                                           （5）

設(shè)小行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的速度為，小行星的質(zhì)量，由牛頓萬(wàn)有引力定律

得                                     （6）

可以看出                                         （7）

由此可見(jiàn)，只要選擇好飛行器在圓軌道上合適的位置離開(kāi)圓軌道，使得它到達(dá)小行星軌道處時(shí)，小行星的前緣也正好運(yùn)動(dòng)到該處，則飛行器就能被小行星撞擊．可以把小行星看做是相對(duì)靜止的，飛行器以相對(duì)速度為射向小行星，由于小行星的質(zhì)量比飛行器的質(zhì)量大得多，碰撞后，飛行器以同樣的速率彈回，即碰撞后，飛行器相對(duì)小行星的速度的大小為，方向與小行星的速度的方向相同，故飛行器相對(duì)太陽(yáng)的速度

或?qū)ⅲ?）、（6）式代入得

                                  （8）

如果飛行器能從小行星的軌道上直接飛出太陽(yáng)系，它應(yīng)具有的最小速度為，則有

得                                   （9）

可以看出

                     （10）

飛行器被小行星撞擊后具有的速度足以保證它能飛出太陽(yáng)系．

2. 為使飛行器能進(jìn)入橢圓軌道，發(fā)動(dòng)機(jī)應(yīng)使飛行器的速度由增加到，飛行器從發(fā)動(dòng)機(jī)取得的能量

         （11）

若飛行器從其圓周軌道上直接飛出太陽(yáng)系，飛行器應(yīng)具有的最小速度為，則有

      

由此得                                 （12）

飛行器的速度由增加到，應(yīng)從發(fā)動(dòng)機(jī)獲取的能量為

                            （13）

所以

                                   （14）

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分

1. 18分。其中（5）式6分，求得（6）式，說(shuō)明飛行器能被小行星碰撞給3分；（8）式5分；得到（10）式，說(shuō)明飛行器被小行星碰撞后能飛出太陽(yáng)系給4分。

2. 7分。其中（11）式3分，（13）式3分，求得（14）式再給1分。