Question

如圖甲，直角坐標系xOy在豎直平面內(nèi)，x軸上方（含x軸）區(qū)域有垂直坐標系xOy向里的勻強磁場，磁感應強度B₀=T；在x軸下方區(qū)域有正交的勻強電場和磁場，場強E隨時間t的變化關系如圖乙，豎直向上為電場強度正方向，磁感應強度B隨時間t的變化關系如圖丙，垂直xOy平面為磁場的正方向。光滑的絕緣斜面在第二象限，底端與坐標原點O重合，與負x軸方向夾角θ=30°。

一質量m=1×10^-5kg、電荷量q=1×10^-4C的帶正電的粒子從斜面上A點由靜止釋放，運動到坐標原點時恰好對斜面壓力為零，以此時為計時起點。求：
（1）釋放點A到坐標原點的距離L；
（2）帶電粒子在t=2.0s時的位置坐標；
（3）在垂直于x軸的方向上放置一俘獲屏，要使帶電粒子垂直打在屏上被俘獲，屏所在位置的橫坐標應滿足什么條件？

Answer 1

（1）0.1m；（2）（，）；（3）（n=0，1，2，3......）

試題分析：（1）設帶電粒子在斜面上運動的加速度為a，在坐標原點速度為v，則
mgsinθ="ma"
qvB="mgcosθ"
v²=2aL
解得 v=1m/s，L="0.1m"
（2）在0—1s，由乙圖知E₁=1N/C，由丙圖知，由于有qE₁ = mg，且?guī)щ娏Ｗ哟怪贝艌龇较蜻M入磁場，所以帶電粒子做勻速圓周運動，設其軌道半徑為r₁，運動周期為T₁，則
              
解得 m，T₁="12" s
在0—1s，設帶電粒子做圓周運動轉過圓心角為θ₁，則θ₁=30°   
在1—2s，由乙圖知E₂=1N/C，由丙圖知T，由于有qE₂= mg，且?guī)щ娏Ｗ舆\動方向垂直磁場，所以帶電粒子做勻速圓周運動，設其軌道半徑為r₂，運動周期為T₂，則
            
解得 m，T₂="4" s
在1—2s，設帶電粒子做圓周運動轉過圓心角為θ₂，則θ₂=90°    
在0—2s內(nèi)帶電粒子運動軌跡如圖，設t=2s時，粒子所在位置坐標為（x₀，y₀），則

 

所以，t=2s時，粒子所在位置坐標為
（，） 
（3）在2—3s內(nèi)，由乙圖知E₃=1.2N/C，由丙圖知B₃=0，由于有qE₃>mg ，帶電粒子運動方向沿負y軸即豎直向下，所以先向下做勻減速直線運動，設減速運動的加速度大小為a，減速到零經(jīng)過的時間為t₀，則
qE₃－mg = ma            
v=at₀                   
解得 t₀="0.5" s
然后粒子向上加速運動0.5s，回到2s末的位置，速度大小也與2s末時相同，方向豎直向上。
在3—5s內(nèi)，由乙圖知E₄=1N/C，由丙圖知T，做半個圓周運動，運動方向豎直向下；在5—6s內(nèi)，重復2—3s內(nèi)的運動；在6—8s內(nèi)，重復3—5s內(nèi)的運動。以后循環(huán)，運動軌跡如圖所示。設俘獲器放置的位置橫坐標為x，則
     （n=0，1，2，3......） 
即           （n=0，1，2，3......）