Question

電磁爐專(zhuān)用平底鍋的鍋底和鍋壁均由耐高溫絕緣材料制成．起加熱作用的是安在鍋底的一系列半徑不同的同心導(dǎo)電環(huán)．導(dǎo)電環(huán)所用的材料單位長(zhǎng)度的電阻R=0.125πΩ/m，從中心向外第n個(gè)同心圓環(huán)的半徑為r_n=（2n-1）r₁（n為正整數(shù)且n≤7），已知r₁=1.0cm．當(dāng)電磁爐開(kāi)啟后，能產(chǎn)生垂直于鍋底方向的變化磁場(chǎng)，已知該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的變化率為

△B

△t

=100

2

πsinωt，忽略同心導(dǎo)電圓環(huán)感應(yīng)電流之間的相互影響．
（1）求出半徑為r_n的導(dǎo)電圓環(huán)中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)瞬時(shí)表達(dá)式；
（2））半徑為r₁的導(dǎo)電圓環(huán)中感應(yīng)電流的最大值I_1m是多大？（計(jì)算中可取π²=10 ）
（3）若不計(jì)其他損失，所有導(dǎo)電圓環(huán)的總功率P是多大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，即可確定感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)瞬時(shí)表達(dá)式；
（2）根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值，結(jié)合閉合電路歐姆定律，即可求解；
（3）根據(jù)最大值與有效值的關(guān)系，并結(jié)合電功率的表達(dá)式，從而可求解．

解答：解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，
半徑為r_n的導(dǎo)電圓環(huán)中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)瞬時(shí)表達(dá)式為
En=

△φ

△t

=S

△B

△t

=100

2

π2(2n-1)2r12sinωt．
（2）第一個(gè)環(huán)中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值為En=

△φ

△t

=S

△B

△t

=100

2

π2(2n-1)2r12sinωt
第一環(huán)的電阻R1=0.125π×2πr1=0.25π2r1
故第一環(huán)中電流的最大值為I1m=

E1m

R1

=400

2

r1=4

2

A．   
（3）第n環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值為Enm=100

2

π2rn2
第n環(huán)的電阻為Rn=0.125π×2πrn═0.25π2rn，
第n環(huán)中電流的最大值為Inm=

Enm

Rn

=400

2

rn
第n環(huán)中電流的有效值為I_n=400r_n    
第n環(huán)中電功率為Pn=In2Rn=4×104π2rn3=4×105rn3
所有導(dǎo)電圓環(huán)的總功率為P=4×105(r13+r23+…+rn3)
代入數(shù)據(jù)得：P=4×10⁵×（1³+3³+…+13³）×0.01³≈1.9×10³W
答：（1）求出半徑為r_n的導(dǎo)電圓環(huán)中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)瞬時(shí)表達(dá)式E_n=100

2

π2(2n-1)2

r

2 1

sinωt；
（2））半徑為r₁的導(dǎo)電圓環(huán)中感應(yīng)電流的最大值I_1m是4

2

A．
（3）若不計(jì)其他損失，所有導(dǎo)電圓環(huán)的總功率P是1.9×10³W．

點(diǎn)評(píng)：考查法拉第電磁感應(yīng)定律與閉合電路歐姆定律的應(yīng)用，掌握交流電的最大值與有效值的關(guān)系，理解電功率的表達(dá)式的運(yùn)用．