Question

18．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度未知，第Ⅳ象限存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從y軸正半軸上的M點(diǎn)以速度v₀垂直于y軸射入電場，經(jīng)x軸上的N點(diǎn)與x軸正方向成θ=60°角射入磁場，最后恰好能從y軸負(fù)半軸上的某點(diǎn)P射出磁場（P點(diǎn)圖中未知），不計(jì)粒子重力，求
（1）粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑r；
（2）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)的總時(shí)間t；
（3）電場強(qiáng)度的大�。�

Answer 1

分析 （1）求出粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出粒子的軌道半徑．
（2）求出粒子在電場與磁場中的運(yùn)動時(shí)間，然后求出粒子總的運(yùn)動時(shí)間．
（3）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，在豎直方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動的速度公式與牛頓第二定律可以求出電場強(qiáng)度．

解答 解：（1）粒子經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)的速度：v=$\frac{{v}_{0}}{cos60°}$=2v₀，
粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$；
（2）粒子恰好能從y軸負(fù)半軸上的某點(diǎn)P射出磁場，
則粒子運(yùn)動軌跡與y軸相切，粒子運(yùn)動軌跡如圖所示，
由幾何知識得：ON=r+rsinθ，
粒子在電場中做類平拋運(yùn)動：ON=v₀t₁，解得：t₁=$\frac{（2+\sqrt{3}）m}{qB}$，
粒子在磁場中做圓周運(yùn)動轉(zhuǎn)過的圓心角：α=360°-60°-90°=210°，
粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間：t₂=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{7πm}{6qB}$，
粒子從M點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)的總時(shí)間：t=t₁+t₂=（2+$\sqrt{3}$+$\frac{7π}{6}$）$\frac{m}{qB}$；
（3）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，
豎直分速度：v_y=v₀tan60°=$\frac{qE}{m}$t₁，解得：E=（2$\sqrt{3}$-3）v₀B；
答：（1）粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑r為$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$；
（2）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)的總時(shí)間t為（2+$\sqrt{3}$+$\frac{7π}{6}$）$\frac{m}{qB}$；
（3）電場強(qiáng)度的大小為（2$\sqrt{3}$-3）v₀B．

點(diǎn)評 粒子在電場中運(yùn)動偏轉(zhuǎn)時(shí)，常用能量的觀點(diǎn)來解決問題，有時(shí)也要運(yùn)用運(yùn)動的合成與分解．粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心、半徑及運(yùn)動時(shí)間的確定也是本題的一個考查重點(diǎn)，要正確畫出粒子運(yùn)動的軌跡圖，能熟練的運(yùn)用幾何知識解決物理問題．