Question

一個(gè)豎直放置的光滑圓環(huán)，半徑為，、、、分別是其水平直徑和豎直直徑的端點(diǎn)．圓環(huán)與一個(gè)光滑斜軌相接，如圖4所示．一個(gè)小球從與點(diǎn)高度相等的點(diǎn)從斜軌上無(wú)初速下滑．試求：

小題1:過(guò)點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力多大？
小題2:小球能否過(guò)點(diǎn)，如能，在點(diǎn)對(duì)軌道壓力多大？如不能，小球于何處離開(kāi)圓環(huán)？

Answer 1

小題1:
小題2:
故小球經(jīng)過(guò)圓環(huán)最低點(diǎn)時(shí)，對(duì)環(huán)的壓力為．小球到達(dá)高度為的點(diǎn)開(kāi)始脫離圓環(huán)，做斜上拋運(yùn)動(dòng)．

小題1:小球在運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中，始終只受重力和軌道的彈力．其中，是恒力，而是大小和方向都可以變化的變力．但是，不論小球是在斜軌上下滑還是在圓環(huán)內(nèi)側(cè)滑動(dòng)，每時(shí)每刻所受彈力方向都與即時(shí)速度方向垂直．因此，小球在運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中彈力不做功，只有重力做功，小球機(jī)械能守恒．
從小球到達(dá)圓環(huán)最低點(diǎn)開(kāi)始，小球就做豎直平面圓周運(yùn)動(dòng)．小球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力總是指向環(huán)心點(diǎn)，此向心力由小球的重力與彈力提供．
（1）因?yàn)樾∏驈?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824114234919192.gif" style="vertical-align:middle;" />到機(jī)械能守恒，所以
     ①
          ②
    ③
解①②③得 
小題2:小球如能沿圓環(huán)內(nèi)壁滑動(dòng)到點(diǎn)，表明小球在點(diǎn)仍在做圓周運(yùn)動(dòng)，則，可見(jiàn)，是恒量，隨著的減小減��；當(dāng)已經(jīng)減小到零（表示小球剛能到達(dá)）點(diǎn)，但球與環(huán)頂已是接觸而無(wú)擠壓，處于“若即若離”狀態(tài)）時(shí)，小球的速度是能過(guò)點(diǎn)的最小速度．如小球速度低于這個(gè)速度就不可能沿圓環(huán)到達(dá)點(diǎn)．這就表明小球如能到達(dá)點(diǎn)，其機(jī)械能至少應(yīng)是，但是小球在點(diǎn)出發(fā)的機(jī)械能僅有＜因此小球不可能到達(dá)點(diǎn)．
又由于，
即
因此，＞0，小球從到點(diǎn)時(shí)仍有沿切線向上的速度，所以小球一定是在、之間的某點(diǎn)離開(kāi)圓環(huán)的．設(shè)半徑與豎直方向夾角，則由圖可見(jiàn)，小球高度
           ④
根據(jù)機(jī)械能守恒定律，小球到達(dá)點(diǎn)的速度應(yīng)符合：
             ⑤
小球從點(diǎn)開(kāi)始脫離圓環(huán)，所以圓環(huán)對(duì)小球已無(wú)彈力，僅由重力沿半徑方向的分力提供向心力，即
           ⑥
解④⑤⑥得 
故小球經(jīng)過(guò)圓環(huán)最低點(diǎn)時(shí)，對(duì)環(huán)的壓力為．小球到達(dá)高度為的點(diǎn)開(kāi)始脫離圓環(huán)，做斜上拋運(yùn)動(dòng)．