Question

1．在光滑水平面上建立如圖所示坐標(biāo)系，有一范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ，磁場(chǎng)的方向垂直于水平面（xOy平面）豎直向下．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B沿y軸方向沒(méi)有變化，沿x軸正方向均勻增加，變化率為k=$\frac{△B}{△x}$=0.1T/m．有一個(gè)質(zhì)量m=0.1kg、電阻R=0.01Ω、長(zhǎng)L=40cm、寬h=20cm、不變形的矩形金屬線(xiàn)圈，以v₀=20cm/s的初速度從圖示位置沿x軸正方向開(kāi)始運(yùn)動(dòng)．
（1）為使線(xiàn)圈勻速運(yùn)動(dòng)，求需要對(duì)線(xiàn)圈施加的外力大小；
（2）若不施加外力，求線(xiàn)圈在水平面運(yùn)動(dòng)的最大位移；
（3）若不施加外力，為使線(xiàn)圈勻速運(yùn)動(dòng)，要在空間中再疊加一個(gè)方向垂直xOy平面豎直向上且隨時(shí)間均勻增大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ，試求勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化率$\frac{△B′}{△t}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，結(jié)合安培力公式，結(jié)合平衡條件，即可求解；
（2）根據(jù)牛頓第二定律，及積分求和，即可求解；
（3）依據(jù)動(dòng)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與感生電動(dòng)勢(shì)表達(dá)式，結(jié)合為使線(xiàn)圈勻速運(yùn)動(dòng)，則線(xiàn)圈所受安培力必為零，即可求解．

解答 解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得：
線(xiàn)圈中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=B₂hv₀-B₁hv₀=khLv₀；
線(xiàn)圈所受安培力
F=B₂hI-B₁hI=$\frac{{k}^{2}{h}^{2}{L}^{2}}{R}$v₀=1.28×10^-3 N
為使線(xiàn)圈勻速運(yùn)動(dòng)，需要對(duì)線(xiàn)圈施加的外力大小
F_外=F=1.28×10^-3 N．
（2）若不施加外力，線(xiàn)圈最終會(huì)在安培力作用下停下來(lái)，對(duì)線(xiàn)圈應(yīng)用牛頓第二定律得：F_安=ma
即：$\frac{{k}^{2}{h}^{2}{L}^{2}}{R}$v=ma
$\frac{{k}^{2}{h}^{2}{L}^{2}}{R}$v△t=ma△t
對(duì)等式兩邊求和得：$\frac{{k}^{2}{h}^{2}{L}^{2}}{R}$x=mv₀，
即x=$\frac{m{v}_{0}R}{{k}^{2}{h}^{2}{L}^{2}}$
代入數(shù)據(jù)得：x=3.125 m．
（3）若不施加外力，為使線(xiàn)圈勻速運(yùn)動(dòng)，則線(xiàn)圈所受安培力必為零，
所以線(xiàn)圈中的感應(yīng)電流為零，即線(xiàn)圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為零，則有
E=（B₂hv₀-B₁hv₀）-$\frac{△B′}{△t}$Lh=khLv₀-$\frac{△B′}{△t}$Lh=0
解得：$\frac{△B′}{△t}$=kv₀=0.02 T/s．
答：（1）需要對(duì)線(xiàn)圈施加的外力大小1.28×10^-3 N；　
（2）線(xiàn)圈在水平面運(yùn)動(dòng)的最大位移3.125 m；
（3）勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化率$\frac{△B′}{△t}$為0.02 T/s．

點(diǎn)評(píng) 考查法拉第電磁感應(yīng)定律，掌握安培力的公式，理解積分求和的方法，注意為使線(xiàn)圈勻速運(yùn)動(dòng)，則線(xiàn)圈所受安培力必為零，是解題的突破口．