Question

15．如圖所示，游樂(lè)場(chǎng)的過(guò)山車可以底朝上在豎直圓軌道上運(yùn)行，可抽象為圖2的模型．半徑R=10m的光滑豎直圓軌道和傾角為37°的直軌道EF，通過(guò)水平光滑的C′E平滑連接，另有水平減速直軌道FG與EF平滑連接，EG間的水平距離l=40m，現(xiàn)有質(zhì)量m=500kg的過(guò)山車從從C點(diǎn)以速度v_C=8$\sqrt{10}$m/s，進(jìn)入圓軌道，經(jīng)C′EF，最終停車G點(diǎn)，過(guò)山車與軌道EF的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁=0.2，與減速直軌道FG的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂=0.75，過(guò)山車可視為質(zhì)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)中不脫離軌道，求：
（1）過(guò)山車運(yùn)動(dòng)至圓軌道最高點(diǎn)D時(shí)的速度大�。�
（2）過(guò)山車運(yùn)動(dòng)至圓軌道最高點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的作用力；
（3）減速直軌道FG的長(zhǎng)度x．（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）對(duì)C到D的過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出過(guò)山車運(yùn)動(dòng)至圓軌道最高點(diǎn)D時(shí)的速度大��；
（2）在D點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得出軌道對(duì)過(guò)山車的作用力大小，從而得出過(guò)山車對(duì)軌道的作用力大小．
（3）對(duì)C′到G點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)能定理，求出減速軌道FG的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）對(duì)C到D的過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理得：
$-mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{D}=4\sqrt{15}$m/s．
（2）在D點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：F+mg=m$\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：F=7000N，
根據(jù)牛頓第三定律知，過(guò)山車運(yùn)動(dòng)至圓軌道最高點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的作用力為7000N，方向向上．
（3）設(shè)減速直軌道FG的長(zhǎng)度x，對(duì)C′到G點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)能定理得：
-mg（l-x）tan37°-μ₁mgcos37°$•\frac{l-x}{cos37°}$-μ₂mgx=0-$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：x=30m．
答：（1）過(guò)山車運(yùn)動(dòng)至圓軌道最高點(diǎn)D時(shí)的速度大小為$4\sqrt{15}$m/s；
（2）過(guò)山車運(yùn)動(dòng)至圓軌道最高點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的作用力為7000N，方向向上；
（3）減速直軌道FG的長(zhǎng)度x為30m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，運(yùn)用動(dòng)能定理解題，要合理選擇研究過(guò)程，然后列式求解．