Question

13．如圖所示，光滑的$\frac{1}{4}$圓弧軌道豎直放置，底端與光滑的水平軌道相接，質(zhì)量為m₂的小球B靜止在光滑水平軌道上，其左側(cè)連接了一輕質(zhì)彈簧，質(zhì)量為m₁的小球A從D點(diǎn)以速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，試求：
（1）小球A撞擊輕質(zhì)彈簧的過(guò)程中，彈簧彈性勢(shì)能的最大值；
（2）要使小球A與小球B能發(fā)生二次碰撞，m₁與m₂應(yīng)滿足什么關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）小球A撞擊輕質(zhì)彈簧的過(guò)程中，當(dāng)兩球速度相等時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大，由動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律可以求出彈簧的最大彈性勢(shì)能．
（2）兩球分開(kāi)后，若A球的速度大于B球的速度時(shí)，兩球可以第二次相碰，由動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律可以求出兩球發(fā)生第二次相碰的條件．

解答 解：（1）小球A撞擊輕質(zhì)彈簧的過(guò)程中，當(dāng)A、B兩球速度相同時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大，設(shè)共同速度為v，取向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：
m₁v₀=（m₁+m₂）v 
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
E_Pm=$\frac{1}{2}$m₁v₀²-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v²
聯(lián)立解得：彈簧彈性勢(shì)能的最大值為：
E_Pm=$\frac{{m}_{1}{m}_{2}{v}_{0}^{2}}{2（{m}_{1}+{m}_{2}）}$
（2）設(shè)A、B與彈簧分離后的速度分別為v₁和v₂，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：
   m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：$\frac{1}{2}$m₁v₀²=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²
聯(lián)立⑤⑥解得：v₁=$\frac{{m}_{1}-{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₀，v₂=$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₀，
要使A、B兩球能發(fā)生二次碰撞，必須滿足|v₁|＞v₂
則有：-$\frac{{m}_{1}-{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₀＞$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₀
解得：m₁＜$\frac{1}{3}$m₂，（m₁+m₂＜0不符合事實(shí)，舍去）；
答：（1）小球A撞擊輕質(zhì)彈簧的過(guò)程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能為$\frac{{m}_{1}{m}_{2}{v}_{0}^{2}}{2（{m}_{1}+{m}_{2}）}$．
（2）要使小球A與小球B能發(fā)生二次碰撞，m₁與m₂應(yīng)滿足的關(guān)系是m₁＜$\frac{1}{3}$m₂．

點(diǎn)評(píng) 分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程，分析隱含的臨界條件，如彈性勢(shì)能最大時(shí)兩球速度相等，應(yīng)用機(jī)械能守恒、動(dòng)量守恒定律即可正確解題．