Question

（20分）某興趣小組設(shè)計(jì)了一種實(shí)驗(yàn)裝置，用來(lái)研究碰撞問(wèn)題，其模型如題圖所示不用完全相同的輕繩將N個(gè)大小相同、質(zhì)量不等的小球并列懸掛于一水平桿、球間有微小間隔，從左到右，球的編號(hào)依次為1、2、3……N，球的質(zhì)量依次遞減，每球質(zhì)量與其相鄰左球質(zhì)量之比為k（k＜1.將1號(hào)球向左拉起，然后由靜止釋放，使其與2號(hào)球碰撞，2號(hào)球再與3號(hào)球碰撞……所有碰撞皆為無(wú)機(jī)械能損失的正碰.（不計(jì)空氣阻力，忽略繩的伸長(zhǎng)，g取10 m/s²）

（1）設(shè)與n+1號(hào)球碰撞前，n號(hào)球的速度為v_n,求n+1號(hào)球碰撞后的速度.
（2）若N＝5,在1號(hào)球向左拉高h的情況下，要使5號(hào)球碰撞后升高16k（16 h小于繩長(zhǎng)）問(wèn)k值為多少？
（3）在第（2）問(wèn)的條件下，懸掛哪個(gè)球的繩最容易斷，為什么？

Answer 1

（1）v_n-1=
（2）k=
（3）懸掛1號(hào)球的繩最容易斷.

（1）設(shè)n號(hào)球質(zhì)量為m,n+1，碰撞后的速度分別為取水平向右為正方向，據(jù)題意有n號(hào)球與n+1號(hào)球碰撞前的速度分別為v_n、0、m_n+1
根據(jù)動(dòng)量守恒，有                 （1）
根據(jù)機(jī)械能守恒，有=         （2）  
由（1）、（2）得
設(shè)n+1號(hào)球與n+2號(hào)球碰前的速度為E_n+1
據(jù)題意有v_n-1=
得v_n-1==                                      （3）
（2）設(shè)1號(hào)球擺至最低點(diǎn)時(shí)的速度為v₁,由機(jī)械能守恒定律有
                                        （4）
v₁=                                             （5）
同理可求，5號(hào)球碰后瞬間的速度
                                       （6）
由（3）式得                       （7）
N=n=5時(shí)，v₅=                        （8）
由（5）、（6）、（8）三式得
k=                         （9）
（3）設(shè)繩長(zhǎng)為l,每個(gè)球在最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩對(duì)球的拉力為F,由牛頓第二定律有
                                           （10）
則           （11）
（11）式中E_kn為n號(hào)球在最低點(diǎn)的動(dòng)能
由題意1號(hào)球的重力最大，又由機(jī)械能守恒可知1號(hào)球在最低點(diǎn)碰前的動(dòng)能也最大，根據(jù)（11）式可判斷在1號(hào)球碰前瞬間懸掛1號(hào)球細(xì)繩的張力最大，故懸掛1號(hào)球的繩最容易斷.