Question

【題目】如圖甲所示，在直角坐標(biāo)系xOy中的四個(gè)點(diǎn)P（O，L）、Q（L，0）、M（0，-L）、N（-L、0）為PQMN的四個(gè)頂點(diǎn)，在△PQN范圍內(nèi)分布著勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間變化的圖像如圖乙所示（圖像中T為未知量），設(shè)垂直紙面向外為正方向；△MQN內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與△PQN內(nèi)的磁場(chǎng)總是大小相等、方向相反。在PQMN區(qū)域外，分別存在著場(chǎng)強(qiáng)大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其方向分別與正方形區(qū)域PQMN在各象限內(nèi)的邊界垂直且指向正方形內(nèi)部。質(zhì)量為m、電荷量為q帶正電的粒子在0內(nèi)某一時(shí)刻從原點(diǎn)O沿y軸正方向射入磁場(chǎng)，此后在xOy平面內(nèi)做周期性運(yùn)動(dòng)。已知粒子在電場(chǎng)內(nèi)做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，且每當(dāng)磁場(chǎng)方向發(fā)生變化時(shí)粒子恰好從電場(chǎng)射磁場(chǎng)。重力不計(jì)，忽略粒子運(yùn)動(dòng)對(duì)電、磁場(chǎng)的影響。上述L、B0、m、q、E為已知量。

(1)若粒子從出發(fā)到第一次回到O點(diǎn)過(guò)程中，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間小于，求該粒子的初速度；

(2)求滿(mǎn)足第一問(wèn)條件下，粒子從出發(fā)到第一次回到O點(diǎn)的路程；

(3)求粒子初速度的所有可能值及對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)變化的周期T。

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3) （n=0，1，2，3，…），（n=0，1，2，3，…）

【解析】

(1)若粒子從出發(fā)到第一次回到O點(diǎn)過(guò)程中，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間小于，則粒子在磁場(chǎng)中的軌跡如圖1所示

由幾何關(guān)系得

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力提供向心力，則

解得粒子的初速度

(2)滿(mǎn)足第一問(wèn)條件下，設(shè)粒子在電場(chǎng)中軌跡的長(zhǎng)度為x1，則

解得粒子在電場(chǎng)中軌跡的長(zhǎng)度

粒子從出發(fā)到第一次回到O點(diǎn)的路程

(3)粒子在xOy平面內(nèi)的周期性運(yùn)動(dòng)，一周期內(nèi)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間可能為，其中n=0，1，2，3…...。當(dāng)n=0，1，2時(shí)，軌跡分別如圖1、2、3所示

由以上分析可知，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑的可能值為

根據(jù)洛倫茲力提供向心力，則有

可得初速度的所有可能值為

一個(gè)周期內(nèi)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的可能時(shí)間為

磁場(chǎng)變化的周期T的可能值為

其中n=0，1，2，3，…