Question

17．一人造地球衛(wèi)星運(yùn)行進(jìn)入預(yù)訂軌道后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，繞行周期為T(mén)，軌道半徑為r，引力常量為G．
（1）求地球的質(zhì)量M；
（2）若地球的半徑為R，求地球表面的重力加速度g．

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星繞地球圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，據(jù)此求得地球的質(zhì)量M；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力和重力相等計(jì)算重力加速度的大小．

解答 解：（1）衛(wèi)星繞地球圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
依此解得地球的質(zhì)量為：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）在地球表面由萬(wàn)有引力定律可得：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
聯(lián)立解得g=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$
答：（1）地球的質(zhì)量M是$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）地球表面的重力加速度g是$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力在天文學(xué)上的應(yīng)用主要是根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力來(lái)計(jì)算中心天體的質(zhì)量，注意只能計(jì)算中心天體不能計(jì)算環(huán)繞天體的質(zhì)量．