Question

7．我國(guó)正在準(zhǔn)備實(shí)施探月計(jì)劃--“嫦娥工程”．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試計(jì)算月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r_月；
（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落回拋出點(diǎn)．已知月球半徑為r，引力常量為G，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，試計(jì)算月球的質(zhì)量M_月．

Answer 1

分析 （1）月球繞地球的運(yùn)動(dòng)時(shí)，由地球的萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律列出月球的軌道半徑與地球質(zhì)量等物理量的關(guān)系式；物體在地球表面上時(shí)，由重力等于地球的萬(wàn)有引力求出地球的質(zhì)量，再求出月球的軌道半徑．
（2）小球在月球表面做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由t=$\frac{2{v}_{0}}{{g}_{月}}$求出月球表面的重力加速度，根據(jù)g_月=$\frac{G{M}_{月}}{{r}^{2}}$求出月球的質(zhì)量M_月．

解答 解：
（1）根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力公式：
   G$\frac{{{M_月}M}}{r^2}={M_月}{（\frac{2π}{T}）^2}r$  ①
   mg=G$\frac{Mm}{R^2}$ ②
解①②得：r=$\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}$
（2）設(shè)月球表面處的重力加速度為g_月，根據(jù)題意：
得到  t=$\frac{2{v}_{0}}{{g}_{月}}$         ③
又g_月=$\frac{G{M}_{月}}{{r}^{2}}$          ④
解③④得：M_月=$\frac{2{v}_{0}{r}^{2}}{Gt}$      
答：（1）月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑是$\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}$；（2）月球的質(zhì)量M_月=$\frac{2{v}_{0}{r}^{2}}{Gt}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是衛(wèi)星類型的問題，常常建立這樣的模型：環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由中心天體的萬(wàn)有引力提供向心力．