Question

3．中國(guó)首個(gè)月球探測(cè)計(jì)劃“嫦娥工程”預(yù)計(jì)在2017年送機(jī)器人上月球，實(shí)地采樣送回地球，為載人登月及月球基地選址做準(zhǔn)備．設(shè)想我國(guó)宇航員隨“嫦娥”號(hào)登月飛船繞月球飛行，飛船上備有以下實(shí)驗(yàn)儀器：A．計(jì)時(shí)表一只，B．彈簧秤一把，C．已知質(zhì)量為m的物體一個(gè)，D．天平一只（附砝碼一盒）．在飛船貼近月球表面時(shí)可近似看成繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，宇航員測(cè)量出飛船在靠近月球表面的圓形軌道繞行N圈所用的時(shí)間為t．飛船的登月艙在月球上著陸后，遙控機(jī)器人利用所攜帶的儀器又進(jìn)行了第二次測(cè)量，科學(xué)家利用上述兩次測(cè)量數(shù)據(jù)便可計(jì)算出月球的半徑和質(zhì)量．若已知萬(wàn)有引力常量為G，則：
（1）簡(jiǎn)述機(jī)器人是如何通過(guò)第二次測(cè)量物體在月球所受的重力F
（2）試?yán)�用測(cè)量數(shù)據(jù)（用符號(hào)表示）求月球的質(zhì)量為$\frac{{F}^{3}{t}^{4}}{16{π}^{4}G{N}^{4}{m}^{3}}$，半徑為$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}m}$．

Answer 1

分析 （1）機(jī)器人在月球上可以用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時(shí)秤出物體在月球所受的重力F．
（2）由F=mg_月，可求出月球表面的重力加速度g_月．在月球上忽略月球的自轉(zhuǎn)，物體在月球上的重力近似等于月球的萬(wàn)有引力，列式得到月球質(zhì)量、半徑與重力加速度的關(guān)系；飛船在繞貼近月球運(yùn)行時(shí)，其軌道半徑為月球的半徑R，由萬(wàn)有引力提供物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，列式得到月球質(zhì)量、半徑與周期的關(guān)系式，聯(lián)立即可求解月球的半徑和質(zhì)量．

解答 解：（1）機(jī)器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時(shí)讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大�。�
（2）在月球上忽略月球的自轉(zhuǎn)可知：F=mg_月 ①G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg_月  ②
飛船在繞月球運(yùn)行時(shí)，因?yàn)槭强拷�月球表面，故近似認(rèn)為其軌道半徑為月球的半徑R，由萬(wàn)有引力提供物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，
則有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R    ③T=$\frac{t}{N}$  ④
所以，由①、②、③、④式可知月球的半徑：R=$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}m}$，月球的質(zhì)量：M=$\frac{{F}^{3}{t}^{4}}{16{π}^{4}G{N}^{4}{m}^{3}}$；
答：（1）機(jī)器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時(shí)讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大小．
（2）月球的質(zhì)量：$\frac{{F}^{3}{t}^{4}}{16{π}^{4}G{N}^{4}{m}^{3}}$；月球的半徑：$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}m}$．

點(diǎn)評(píng) 忽略自轉(zhuǎn)的情況下萬(wàn)有引力等于物體所受的重力，這是經(jīng)常用的方法要注意掌握．對(duì)于天體運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵建立模型，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列式方程，求解有關(guān)物理量．