Question

4．已知地球質(zhì)量大約是月球質(zhì)量的81倍，地球半徑大約是月球半徑的4倍．如圖所示，假設(shè)甲、乙兩個完全相同的斜面分別固定在地球和月球的水平地面上，將相同的小球從斜面上的同一點(diǎn)O處，以相同的初速度v₀沿水平方向拋出，分別落在甲、乙斜面上的M、N兩點(diǎn)（圖中未畫出），不計空氣阻力，不考慮地球、月球自轉(zhuǎn)的影響，由以上條件可知（　�。�

• A． 地球表面重力加速度與月球表面重力加速度之比為9：4
• B． 小球從拋出到落在M點(diǎn)的時間大于小球從拋出到落在N點(diǎn)的時間
• C． 靠近地球表面沿圓軌道運(yùn)行的航天器的周期與靠近月球表面沿圓軌道運(yùn)行的航天器的周期之比約為8：9
• D． 小球從拋出到落在M點(diǎn)與小球從拋出到落在N點(diǎn)的過程中，重力對小球做的功相同

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于重力，求出地球表面和月球表面的重力加速度之比．根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律求出小球的時間關(guān)系．根據(jù)重力等于向心力，列式分析靠近地球和月球表示運(yùn)行的航天器的周期之比．由W=mgh分析重力做功關(guān)系．

解答 解：A、根據(jù)在天體表面上，物體重力等于萬有引力，得 mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
得 g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
可得，地球表面重力加速度與月球表面重力加速度之比為 g_地：g_月=$\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}^{2}}$：$\frac{G{M}_{月}}{{R}_{月}^{2}}$=81：16，故A錯誤．
B、小球做平拋運(yùn)動，將平拋運(yùn)動分解為水平和豎直方向，設(shè)水平位移為x，豎直位移為y，根據(jù)幾何關(guān)系有
  tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$，得t=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$∝$\frac{1}{g}$，所以t_地：t_月=g_月：g_地=16：81，即小球從拋出到落在M點(diǎn)的時間小于小球從拋出到落在N點(diǎn)的時間，故B錯誤．
C、對于靠近天體的航天器，由mg=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R得 T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
則得，靠近地球表面沿圓軌道運(yùn)行的航天器的周期與靠近月球表面沿圓軌道運(yùn)行的航天器的周期之比 T_地：T_月=2π$\sqrt{\frac{{R}_{地}}{{g}_{地}}}$：2π$\sqrt{\frac{{R}_{月}}{{g}_{月}}}$=8：9，故C正確．
D、重力所做的功為 W=mgh=mg（$\frac{1}{2}g{t}^{2}$）=$\frac{1}{2}m{g}^{2}$（$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$）²=2mv₀²tan²θ，小球的質(zhì)量相同，初速度相同，斜面θ相同，則重力對小球做的功相同．故D正確．
故選：CD

點(diǎn)評 本題將萬有引力定律和平拋運(yùn)動綜合考查，關(guān)鍵是抓住重力近似等于萬有引力，來求出重力加速度之比，平拋運(yùn)動根據(jù)運(yùn)動的合成與分解處理．