Question

8．足夠長(zhǎng)的傾角為θ的光滑斜面的底端固定一輕彈簧，彈簧的上端連接質(zhì)量為m、厚度不計(jì)的鋼板，鋼板靜止時(shí)彈簧的壓縮量為x₀，如圖所示，一物塊從鋼板上方距離為3x₀的A處沿斜面下滑，與鋼板碰撞后立刻與鋼板一起向下運(yùn)動(dòng)，但不粘連，它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)．已知物塊質(zhì)量也為m時(shí)，它們恰能回到O點(diǎn)，O為彈簧自然伸長(zhǎng)時(shí)鋼板的位置，若物塊質(zhì)量為2m，仍從A處沿斜面下滑，則物塊與鋼板回到O點(diǎn)時(shí)，還具有向上的速度．已知重力加速度為g，計(jì)算結(jié)果可以用根式表示，求：
（1）質(zhì)量為m的物塊與鋼板碰撞后瞬間的速度大小v₁；
（2）碰撞前彈簧的彈性勢(shì)能；
（3）質(zhì)量為2m的物塊沿斜面向上運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最高點(diǎn)離O點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）物塊沿光滑斜面下滑時(shí)機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求物塊與鋼板碰撞前瞬間的速度大小v₀，由動(dòng)量守恒定律求物塊與鋼板碰撞后瞬間的速度大小v₁；
（2）從碰后到回到O點(diǎn)的過(guò)程，對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式，可求得碰撞前彈簧的彈性勢(shì)能；
（3）根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出質(zhì)量為2m的物塊與鋼板碰撞后瞬間的速度大小v₂．再由機(jī)械能守恒定律求解．

解答 解：（1）設(shè)物塊與鋼板碰撞前的速度為v₀．根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
mg•3x₀sinθ=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{6g{x}_{0}sinθ}$
對(duì)于碰撞過(guò)程，取沿斜面向下方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律得：
   mv₀=2mv₁．
解得：v₁=$\frac{\sqrt{6g{x}_{0}sinθ}}{2}$
（2）設(shè)碰撞前彈簧的彈性勢(shì)能為E_p．當(dāng)物塊與鋼板一起回到O點(diǎn)時(shí)，彈簧無(wú)形變，彈簧的彈性勢(shì)能為零，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
E_p+$\frac{1}{2}（2m）{v}_{1}^{2}$=2mgx₀sinθ
解得：E_p=$\frac{1}{2}$mgx₀sinθ
（3）設(shè)質(zhì)量為2m的物塊與鋼板碰撞后瞬間的速度大小v₂．由動(dòng)量守恒定律得：
  2mv₀=3mv₂．
當(dāng)物塊與鋼板一起回到O點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能為零，但它們?nèi)岳^續(xù)向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)此時(shí)它們的速度為v．根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
E_p+$\frac{1}{2}（3m）{v}_{2}^{2}$=3mgx₀sinθ+$\frac{1}{2}（3m）{v}^{2}$
在O點(diǎn)物塊與鋼板分離，分離后，物塊以初速度v繼續(xù)沿斜面上升，設(shè)運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最高點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為h，則有
則有：v²=2ah
由牛頓第二定律得：2mgsinθ=2ma
解得：h=$\frac{{x}_{0}}{2}$
答：
（1）質(zhì)量為m的物塊與鋼板碰撞后瞬間的速度大小v₁是$\frac{\sqrt{6g{x}_{0}sinθ}}{2}$．
（2）碰撞前彈簧的彈性勢(shì)能是$\frac{1}{2}$mgx₀sinθ．
（3）質(zhì)量為2m的物塊沿斜面向上運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最高點(diǎn)離O點(diǎn)的距離是$\frac{{x}_{0}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把握每個(gè)過(guò)程的物理規(guī)律，如碰撞的基本規(guī)律：動(dòng)量守恒定律．物體壓縮彈簧的過(guò)程，系統(tǒng)遵守機(jī)械能守恒定律，并要找出狀態(tài)之間的聯(lián)系．