Question

如圖所示（1），在豎直平面內(nèi)有一圓形軌道半徑R=0.1m，一質(zhì)量m=1.0×10^-3kg的小球，可在內(nèi)壁滑動(dòng)．現(xiàn)在最低點(diǎn)處給小球一個(gè)水平初速度v₀，使小球在豎直平面內(nèi)逆時(shí)針做圓周運(yùn)動(dòng)，已知小球始終受到一大小與速度大小成正比、方向沿徑向指向圓心的力作用，即F'=kv，其中k為常量．圖（2）是小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的速率v隨時(shí)間變化的情況，圖（3）是小球所受軌道的彈力F隨時(shí)間變化的情況，已知小球能有兩次到達(dá)圓形軌道的最高點(diǎn)．結(jié)合圖象所給數(shù)據(jù)，g取10m/s²，試求：
（1）常量k的值；
（2）小球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至圖中速度為2m/s的過(guò)程中，摩擦力對(duì)小球做的功．

Answer 1

分析：（1）由圖讀出t₂時(shí)刻小球到達(dá)軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度為2m/s，軌道對(duì)小球的彈力為零，由重力和F'的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出k．
（2）t=0時(shí)刻，小球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，由圖（3）讀出F=8×10^-2N，由重力、F′和軌道的彈力F的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出初速度，由動(dòng)能定理研究小球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至圖中速度為2m/s的過(guò)程，得出摩擦力對(duì)小球做的功．

解答：解：（1）t₂時(shí)刻小球到達(dá)軌道最高點(diǎn)時(shí)v=2m/s，軌道對(duì)小球的彈力F=0，根據(jù)牛頓第二定律得：
F′+mg=m

v2

R

又F'=kv，
得到：kv+mg=m

v2

R

代入解得：k=1.5×10^-2Ns/m
（2）t=0時(shí)刻，小球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，由圖（3）讀出F=8×10^-2N，設(shè)初速度大小為v₀，則有：
kv₀+F-mg=m

v 2 0

R

代入解得：v₀=3.5m/s
小球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至圖中速度為2m/s的過(guò)程中，指向圓心的力作用F'和軌道對(duì)小球的彈力始終不做功，根據(jù)動(dòng)能定理得：
-2mgR+W=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解得：W=-2.125×10^-3J
答：（1）常量k為1.5×10^-2Ns/m；
（2）小球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至圖中速度為2m/s的過(guò)程中，摩擦力對(duì)小球做的功為-2.125×10^-3J．

點(diǎn)評(píng)：本題解題關(guān)鍵是讀懂圖象，找出圖（2）、（3）之間對(duì)應(yīng)的關(guān)系．根據(jù)動(dòng)能定理求阻力做功是常用的方法．