Question

17．如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定有兩個(gè)很靠近的同心圓軌道，外圓光滑，內(nèi)圓粗糙，一質(zhì)量為m的小球從軌道的最低點(diǎn)以初速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，球的直徑略小于兩圓間距，球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．
（1）判斷小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能是否守恒，并簡(jiǎn)要說(shuō)明原因．
（2）若使小球始終做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則v₀的最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒的條件，通過(guò)小球是否與內(nèi)壁接觸，判斷機(jī)械能是否守恒．
（2）小球始終做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，可知小球與軌道間沒(méi)有摩擦，根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的最小速度，結(jié)合動(dòng)能定理求出初速度的最小值．

解答 解：（1）若小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度較大，不與軌道內(nèi)壁接觸，則機(jī)械能守恒．
若小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度較小，與軌道內(nèi)壁接觸，由于摩擦力做功，則機(jī)械能不守恒．
（2）若使小球始終做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，可知小球與軌道間沒(méi)有摩擦，
在最高點(diǎn)，根據(jù)$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
解得${v}_{1}=\sqrt{gR}$，
根據(jù)動(dòng)能定理得，$-mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得v₀的最小值${v}_{0}=\sqrt{5gR}$．
答：（1）若小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度較大，不與軌道內(nèi)壁接觸，則機(jī)械能守恒．若小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度較小，與軌道內(nèi)壁接觸，由于摩擦力做功，則機(jī)械能不守恒．
（2）若使小球始終做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則v₀的最小值是$\sqrt{5gR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，知道最高點(diǎn)的臨界情況，結(jié)合動(dòng)能定理、牛頓第二定律綜合求解，難度不大．