Question

2．為了測量某行星的質(zhì)量和半徑，宇航員記錄了登陸艙在該行星表面附近做圓周運動的周期為T，登陸艙在行星表面著陸后，用彈簧稱量一個質(zhì)量為m的砝碼，讀數(shù)為N．已知引力常量為G．則下列計算正確的是（　　）

• A． 該行星的半徑為$\frac{4{π}^{2}N{T}^{2}}{m}$
• B． 該行星的密度為$\frac{3G}{π{T}^{2}}$
• C． 該行星的第一宇宙速度為$\frac{NT}{2m}$
• D． 該行星的質(zhì)量為$\frac{{N}^{3}{T}^{4}}{16G{π}^{4}{m}^{3}}$

Answer 1

分析 登陸艙在該行星表面做圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律列式；在星球表面，用彈簧稱稱量一個質(zhì)量為m的砝碼讀數(shù)為N，根據(jù)重力等于萬有引力列式；聯(lián)立求解出質(zhì)量和半徑；第一宇宙速度是星球表面軌道衛(wèi)星的環(huán)繞速度

解答 解：AD、登陸艙在該行星表面做圓周運動，萬有引力提供向心力，故有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mR$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$…①
在星球表面，用彈簧稱稱量一個質(zhì)量為m的砝碼讀數(shù)為N，故有：
N=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$…②
聯(lián)立解得：M=$\frac{{N}^{3}{T}^{4}}{16G{π}^{4}{m}^{3}}$，R=$\frac{N{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$，故A錯誤．D 正確
B、行星的密度為：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，故B錯誤．
D、第一宇宙速度是星球表面軌道衛(wèi)星的環(huán)繞速度，故有：v=$\frac{2πR}{T}$=$\frac{NT}{2πm}$，故C錯誤
故選：D

點評 對于衛(wèi)星問題，關(guān)鍵值記住兩點：衛(wèi)星的萬有引力提供向心力；在星球表面，重力等于萬有引力