Question

6．將一質(zhì)量為m的小球固定在管底，用一輕質(zhì)光滑細(xì)線將小球與質(zhì)量為M=km的小物塊相連，想物塊懸掛于管口，現(xiàn)將小球釋放，一段時(shí)間后，小物塊落地靜止不動(dòng)，小球繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)，通過管口的轉(zhuǎn)向裝置后做平拋運(yùn)動(dòng)，小球想轉(zhuǎn)向過程中速率不變．（重力加速度為g）
（1）求小物塊下落過程中的加速度大小；
（2）求小球從管口拋出時(shí)的速度大小；
（3）試證明小球平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移總小于L．

Answer 1

分析 開始時(shí)小球沿斜面向上做勻加速，小物塊向下也做勻加速，兩者的加速度大小相等．對(duì)各自受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律列出等式，解出方程．
小物塊落地靜止不動(dòng)，小球繼續(xù)向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，對(duì)其受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律解出此時(shí)的加速度（與前一階段加速度不等），結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小球從管口拋出時(shí)的速度大�。�
運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律表示出小球平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移，利用數(shù)學(xué)知識(shí)證明問題．

解答 解：（1）設(shè)細(xì)線中的張力為T，對(duì)小球和小物塊各自受力分析：

根據(jù)牛頓第二定律得：
對(duì)M：Mg-T=Ma
對(duì)m：T-mgsin30°=ma
且M=km
解得：a=$\frac{2k-1}{2（k+1）}$
（2）設(shè)M落地時(shí)的速度大小為v，m射出管口時(shí)速度大小為v₀，M落地后m的加速度為a₀．
根據(jù)牛頓第二定律有：-mgsin30°=ma₀
對(duì)于m勻加速直線運(yùn)動(dòng)有：v²=2aLsin30°
對(duì)于小物塊落地靜止不動(dòng)，小球m繼續(xù)向上做勻減速運(yùn)動(dòng)有：v²-v₀²=2a₀L（1-sin30°）
解得：v₀=$\sqrt{\frac{k-2}{2（k+1）}gL}$（k＞2）
（3）平拋運(yùn)動(dòng)x=v₀t    Lsin30°=$\frac{1}{2}$gt² 
解得x=L$\sqrt{\frac{k-2}{2（k+1）}}$
因?yàn)?\frac{k-2}{k+1}$＜1，所以x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，得證．
答：（1）小物塊下落過程中的加速度大小是$\frac{2k-1}{2（k+1）}$；
（2）小球從管口拋出時(shí)的速度大小為$\sqrt{\frac{k-2}{2（k+1）}gL}$；
（3）證明如上

點(diǎn)評(píng) 本題考查牛頓第二定律，勻加速運(yùn)動(dòng)的公式及平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律．
要注意第（2）問中要分M落地前和落地后兩段計(jì)算，因?yàn)閮啥蔚膍加速度不相等．
第（3）問中，因?yàn)?\frac{k-2}{k+1}＜1$，所以$x=L\sqrt{\frac{k-2}{2（k+1）}}$