Question

2．如圖所示，在第一象限內有垂直紙面向里和向外的勻強磁場，磁感應強度分別為B₁=0.1T、B₂=0.05T，分界線OM與x軸正方向的夾角為α．在第二、三象限內存在著沿x軸正方向的勻強電場，電場強度E=1×10⁴V/m．現(xiàn)有一帶電粒子由x軸上A點靜止釋放，從O點進入勻強磁場區(qū)域．已知A點橫坐標x_A=-5×10^-2m，帶電粒子的質量m=1.6×10^-24kg，電荷量q=+1.6×10^-15C．
（1）要使帶電粒子能始終在第一象限內運動，求α的取值范圍？（用反三角函數(shù)表示）
（2）如果α=30°，則粒子能經(jīng)過OM分界面上的哪些點？
（3）如果α=30°，讓粒子在OA之間的某點釋放，要求粒子仍能經(jīng)過（2）問中的那些點，則粒子釋放的位置應滿足什么條件？

Answer 1

分析 帶電粒子在組合場中的運動問題，首先要運用動力學方法分析清楚粒子的運動情況．粒子在電場中做勻加速直線運動，根據(jù)直線運動公式求出粒子進入磁場的速度．粒子在磁場中圓周運動，根據(jù)磁場強度的關系，求出半徑值比，正確畫出軌跡，由幾何知識及三角函數(shù)求解．

解答 解：（1）粒子進入勻強磁場后，做勻速圓周運動．設在B₁中運動的半徑為r₁，在B₂中運動的半徑為r₂，
由$qvB=m\frac{v^2}{r}$
B₁=2 B₂
得  r₂=2r₁
由幾何關系解得  $α＜\frac{π}{2}-\frac{1}{2}arcsin\frac{2}{3}$
（2）當α=30°時，粒子每次在任意一個磁場中運動的圓弧的圓心角均為60°，弦長均等于半徑．
粒子在電場中運動  $qE{x_A}=\frac{1}{2}m{v^2}$
粒子在磁場中運動 ${r_1}=\frac{mv}{{q{B_1}}}$
解得：
${r_1}=1×{10^{-2}}m$
${r_2}=2{r_1}=2×{10^{-2}}m$
OM上經(jīng)過的點距離O點的距離是$l=k{r_1}+（k-1）{r_2}=（3k-2）{r_1}=（3k-2）×{10^{-2}}m$（k=1、2、3…）
或 $l=k'（{r_1}+{r_2}）=3k'×{10^{-2}}m$（k′=1、2、3…）
（3）要仍然經(jīng)過原來的點，需滿足 ${r_1}=n（{r_1}^′+{r_2}^′）$（n=1、2、3…）
解得  $r'=\frac{r_1}{3n}$即$v'=\frac{v}{3n}$
粒子釋放的位置應滿足 ${x_A}^′=\frac{x_A}{{9{n^2}}}$（n=1、2、3…）
或者 ${r_1}=n'（2{r_1}^{′′}+{r_2}^{′′}）$（n′=1、2、3…）   
解得，$r''=\frac{r_1}{4n'}$即$v''=\frac{v}{4n'}$
粒子釋放的位置應滿足${x_A}^{′′}=\frac{x_A}{{16{{n'}^2}}}$（n′=1、2、3…）
答：（1）要使帶電粒子能始終在第一象限內運動，求α的取值范圍為$α＜\frac{π}{2}-\frac{1}{2}arcsin\frac{2}{3}$；
（2）如果α=30°，則粒子能經(jīng)過OM分界面上的哪些點（3k-2）×10^-2m（k=1、2、3…）或3k′×10^-2（k′=1、2、3…）；
（3）如果α=30°，讓粒子在OA之間的某點釋放，要求粒子仍能經(jīng)過（2）問中的那些點，則粒子釋放的位置應滿足${x}_{A}^{′}=\frac{{x}_{A}}{{9n}^{2}}$或${x}_{A}^{″}=\frac{{x}_{A}}{16{{n}^{′}}^{2}}$．

點評 此題考查了粒子在復合場中的運動，需考生熟練掌握圓周運動的公式及應用．首先根據(jù)題意，畫出粒子的運動軌跡，找到臨界值，求出角度．根據(jù)草圖找出粒子經(jīng)過哪些點，通過分析得出數(shù)學規(guī)律．