Question

18．如圖甲，一個傾角為30°的光滑斜面的底端固定一個與斜面垂直的擋板，勁度系數(shù)k=0.1N/cm的輕質彈簧一端與擋板固定，另一端與一個質量為m=0.2kg、帶電量為+2×10^-7C的小滑塊固定，現(xiàn)將滑塊壓到距擋板為L=30cm的A點由靜止釋放，滑塊剛好能在A、B做簡諧運動，其位移-時間圖如圖乙所示，求：
（1）該滑塊做間諧運動的振動方程；
（2）彈簧的原長L₀；
（3）若在滑塊到達A點時加一個豎直向下、大小為E=2×10⁶C的勻強電場，滑塊還能繼續(xù)做簡諧運動嗎？若能，試求出振幅A′．

Answer 1

分析 （1）由圖讀出滑塊的振幅與周期，結合振動方程中的物理量特點，即可寫出振動方程；
（2）根據題意與位移-時間圖，判斷出滑塊在平衡位置處對應的彈簧的形變量，結合胡克定律即可求出彈簧的原長；
（3）當加電場后，對滑塊進行受力分析即可求出．

解答 解：（1）由圖可知，該振子的振幅為20cm=0.2m，周期為0.4s，所以圓頻率：$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{0.4}=5π$
所以，該滑塊做間諧運動的振動方程為：x=Asinωt=0.2sin5πt （m）
（2）滑塊在平衡位置處受到的彈簧的彈力與重力沿斜面向下的分力是相等的，設此時彈簧的壓縮量為x，所以：
mgsin30°=kx
k=0.1N/cm=10N/m
代入數(shù)據得：x=0.1m=10cm
所以彈簧的原長：L₀=L+A+x=30cm+20cm+10cm=60cm
（3）在A點時彈簧的壓縮量：△x=x+A=10cm+20cm=30cm=0.3m
選取沿斜面向上為正方向，則加電場后，滑塊在A點的受力沿斜面方向的分力：
F_合斜面=k△x-mgsin30°-qEsin30°=10×0.3-0.2×10×0.5-2×10^-7×2×10⁶=1.6N
可知在A點滑塊受到沿斜面向上的合外力為1.6N，所以滑塊將從A點開始 向上做加速運動，由于電場力是恒力，所以滑塊仍然可以做簡諧振動．
此時設合外力等于0時彈簧的壓縮量為x′，則：0=kx′-mgsin30°-qEsin30°
代入數(shù)據得：x=0.14m=14cm
所以此時滑塊的振幅為：A′=A+x-x′=0.2m+0.1m-0.14m=0.16m=16cm
答：（1）該滑塊做間諧運動的振動方程為x=Asinωt=0.2sin5πt （m）；
（2）彈簧的原長為60cm；
（3）若在滑塊到達A點時加一個豎直向下、大小為E=2×10⁶C的勻強電場，滑塊還能繼續(xù)做簡諧運動，此時的振幅A′為16cm．

點評 該題基于簡諧振動模型考查胡克定律、共點力平衡等知識點的內容，題目的設計思路新穎，涉及知識點多，公式多，在解答的過程中要注意對各個過程以及狀態(tài)的分析．