Question

6．如圖所示，在xOy平面直角坐標(biāo)系中，直角三角形ACD內(nèi)存在垂直于平面向里磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，線段CO=OD=L，CD邊在x軸上，∠ADC=30°，電子束以向+y方向相同的速度v₀從CD邊上的各點(diǎn)射入磁場(chǎng)，已知這些電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑均為$\frac{L}{3}$，在第四象限正方形ODQP內(nèi)存在沿+x方向，大小為E=Bv₀的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在y=-L處垂直于y軸放置一平面足夠大的熒光屏，屏與y軸焦點(diǎn)為P，忽略電子間的相互作用，不計(jì)電子的重力．試求：
（1）電子的比荷．
（2）從x軸最右端射入電場(chǎng)中的電子打到熒光屏上的點(diǎn)與P點(diǎn)間的距離．
（3）射入電場(chǎng)中的電子達(dá)到熒光屏上的點(diǎn)距P的最遠(yuǎn)距離．

Answer 1

分析 （1）電子在電場(chǎng)中做順時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力：ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，再與給出的半徑大小聯(lián)立，即可求出電子的比荷；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓軌跡必須與直線AD相切時(shí)打到熒光屏上距Q點(diǎn)最遠(yuǎn)，利用平拋的特點(diǎn)結(jié)合幾何關(guān)系即可求出從x軸最右端射入電場(chǎng)中的電子打到熒光屏上的點(diǎn)與P點(diǎn)間的距離；
（3）寫出射入電場(chǎng)中的電子達(dá)到熒光屏上的點(diǎn)距P距離的表達(dá)式，利用數(shù)學(xué)知識(shí)求其最大值即可．

解答 解：（1）由題意可知電子在磁場(chǎng)中的軌跡半徑r=$\frac{L}{3}$ ①
由牛頓第二定律得：ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$②
聯(lián)立①②式可得電子的比荷：$\frac{e}{m}$=$\frac{3{v}_{0}}{BL}$③
（2）若電子能進(jìn)入電場(chǎng)中，且離O點(diǎn)右側(cè)最遠(yuǎn)，則電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)圓軌跡恰好與邊AD相切，
即粒子從F點(diǎn)離開磁場(chǎng)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，離O點(diǎn)最遠(yuǎn)，設(shè)電子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心為O′點(diǎn)，則：OF=x_m=$\frac{2L}{3}$
從F點(diǎn)射出的電子，做類平拋運(yùn)動(dòng)，有：
$\frac{2L}{3}$=$\frac{eE}{2m}{t}^{2}$④
y=v₀t⑤
結(jié)合已知：E=Bv₀⑥
聯(lián)立③④⑤⑥式得：y=$\frac{2L}{3}$⑦
設(shè)從x軸射入電場(chǎng)中最右端的電子打到熒光屏上的點(diǎn)為G，電子射出電場(chǎng)時(shí)的速度與水平方向的夾角為θ，
類平拋過程，根據(jù)幾何關(guān)系有：tanθ=$\frac{y}{2x}$=$\frac{1}{2}$⑧
聯(lián)立⑦⑧式可得：GP=$\frac{（L-y）}{tanθ}$=$\frac{2L}{3}$
（3）設(shè)打到屏上離P點(diǎn)最遠(yuǎn)的電子是從（x，0）點(diǎn)射入電場(chǎng)，則射出電場(chǎng)的：
y=v₀$\sqrt{\frac{2xm}{Ee}}$=$\sqrt{\frac{2xL}{3}}$ ⑨
設(shè)該電子與P距離X，由平拋運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)得：$\frac{X}{x}$=$\frac{2（L-y）}{y}$⑩
聯(lián)立⑨⑩式可得：X=2（$\frac{xL}{y}$-x）=2（$\sqrt{\frac{3xL}{2}-x}$）=-2[（$\sqrt{x}$-$\sqrt{\frac{3L}{8}}$）²-$\frac{3L}{8}$]
所以當(dāng)x=$\frac{3L}{8}$時(shí)，X取最大值：X_m=$\frac{3L}{4}$
答：（1）電子的比荷為$\frac{3{v}_{0}}{BL}$；
（2）從x軸最右端射入電場(chǎng)中的電子打到熒光屏上的點(diǎn)與P點(diǎn)間的距離為$\frac{2L}{3}$；
（3）射入電場(chǎng)中的電子達(dá)到熒光屏上的點(diǎn)距P的最遠(yuǎn)距離為$\frac{3L}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要求能正確的畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，并根據(jù)幾何關(guān)系確定某些物理量之間的關(guān)系；粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)經(jīng)常用化曲為直的方法，求極值的問題一定要先找出臨界的軌跡，注重?cái)?shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用．