Question

2．如圖所示，電阻不計(jì)的兩光滑平行金屬導(dǎo)軌相距L，固定在水平絕緣桌面上，其中半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧部分處在豎直平面內(nèi)，水平直導(dǎo)軌部分處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，末端與桌面邊緣垂直平齊．兩金屬棒ab、cd垂直于兩導(dǎo)軌且與導(dǎo)軌接觸良好．棒ab質(zhì)量為2m，電阻為r，棒cd的質(zhì)量為m，電阻為r，重力加速度為g，開始時(shí)棒cd靜止在水平直導(dǎo)軌上，棒ab從圓弧頂端無(wú)初速度釋放，進(jìn)入水平直導(dǎo)軌后與棒cd始終沒(méi)有接觸并一直向右運(yùn)動(dòng)，最后兩棒都離開導(dǎo)軌落到地面上，棒ab與棒cd落地點(diǎn)到桌面邊緣的水平距離之比為2：1．求：
（1）棒ab和棒cd離開導(dǎo)軌時(shí)的速度大�。�
（2）棒cd在水平導(dǎo)軌上的最大加速度；
（3）兩棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）ab棒在圓弧上下滑的過(guò)程中機(jī)械能守恒，由此可求得ab棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度．棒ab和棒cd離開導(dǎo)軌做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和水平位移之比列式，可求得棒ab和棒cd離開導(dǎo)軌時(shí)速度大小之比．兩棒都在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的合外力為零，遵守動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律列式，聯(lián)立即可求解．
（2）MN棒剛進(jìn)入水平導(dǎo)軌時(shí)，MN棒受到的安培力最大，此時(shí)它的加速度最大．根據(jù)MN棒從圓弧導(dǎo)軌滑下機(jī)械能定恒求解進(jìn)入磁場(chǎng)之前的速度大小，由E=BLv、I=$\frac{E}{2r}$、F=BIL結(jié)合求出安培力，即可由牛頓第二定律求解最大加速度．
（3）兩棒開導(dǎo)軌做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和水平位移之比求解，根據(jù)根據(jù)動(dòng)量定恒和能量定恒求解兩棒在軌道上運(yùn)動(dòng)過(guò)程產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）設(shè)ab棒進(jìn)入水平導(dǎo)軌的速度為v，ab棒從圓弧導(dǎo)軌滑下機(jī)械能守恒：
 2mgR=$\frac{1}{2}$×2mv²
解得：v=$\sqrt{2gR}$
兩棒離開導(dǎo)軌時(shí)，設(shè)ab棒的速度為v₁，cd棒的速度為v₂．
兩棒離開導(dǎo)軌后做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，由平拋運(yùn)動(dòng)水平位移x=v₀t可知
   v₁：v₂=x₁：x₂=2：1 
兩棒均在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的合外力為零，遵守動(dòng)量守恒，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
 2mv=2mv₁+mv₂
聯(lián)立解得 v₁=$\frac{4}{5}$$\sqrt{2gR}$，v₂=$\frac{2}{5}\sqrt{2gR}$
（2）ab棒剛進(jìn)入水平導(dǎo)軌時(shí)，cd棒受到的安培力最大，此時(shí)它的加速度最大．
ab棒剛進(jìn)入水平導(dǎo)軌時(shí)，設(shè)此時(shí)回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E，則
 E=BLv 
感應(yīng)電流 I=$\frac{E}{2r}$
cd棒受到的安培力為：F=BIL
根據(jù)牛頓第二定律，cd棒有最大加速度為
 a=$\frac{F}{m}$
聯(lián)立解得：a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gR}}{2mr}$
（3）根據(jù)能量守恒，兩棒在軌道上運(yùn)動(dòng)過(guò)程產(chǎn)生的焦耳熱為
  Q=$\frac{1}{2}$×2mv²-（$\frac{1}{2}$×2mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²）
聯(lián)立解得，Q=$\frac{14}{25}$mgR
答：
（1）棒ab和棒cd離開導(dǎo)軌時(shí)的速度大小分別為$\frac{4}{5}$$\sqrt{2gR}$和$\frac{2}{5}\sqrt{2gR}$；
（2）棒cd在水平導(dǎo)軌上的最大加速度是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gR}}{2mr}$；
（3）兩棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱是$\frac{14}{25}$mgR．

點(diǎn)評(píng) 本題是雙桿切割類型，與非彈性碰撞問(wèn)題類似，根據(jù)機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律，并結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行處理．要有分析和處理綜合題的能力．