Question

如圖所示是一個(gè)豎直平面內(nèi)的由傾斜直線、半徑R=50cm圓弧和豎直直線三部分組成的帶有凹槽的光滑軌道，且軌道的圓弧部分與傾斜部分恰好相切連接，傾斜軌道與水平面的夾角為45°．兩個(gè)質(zhì)量均為m=2kg的小環(huán)套在光滑軌道上，小環(huán)之間用不計(jì)質(zhì)量且不可拉伸的細(xì)線相連（圖中虛線表示），細(xì)線只能沿軌道的凹槽運(yùn)動(dòng)．開始時(shí)，讓A、B兩小環(huán)分別靜止在圓弧軌道的最低點(diǎn)和傾斜軌道上，細(xì)線處于拉緊狀態(tài)．釋放后兩小環(huán)開始運(yùn)動(dòng)，求：
（1）小環(huán)A運(yùn)動(dòng)到圓弧的最右端時(shí)的速度大�。�
（2）分析小環(huán)A能否到達(dá)圓弧的最高點(diǎn)？如能，則計(jì)算小環(huán)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的速度大��；如不能，則估算小環(huán)從最低點(diǎn)開始上升的最大高度．（精確到1cm）

Answer 1

分析：（1）把A、B兩個(gè)小環(huán)看成一個(gè)整體，它們速度大小相等，從初位置運(yùn)動(dòng)到A球到達(dá)最右端的過程中運(yùn)用機(jī)械能守恒即可求解速度；
（2）假設(shè)小環(huán)能上升到最高點(diǎn)，運(yùn)用機(jī)械能守恒列式進(jìn)行分析判斷．若不能，由機(jī)械能守恒和幾何知識(shí)求解最大高度．

解答：解：（1）對(duì)整體從初位置運(yùn)動(dòng)到A球到達(dá)最右端的過程中運(yùn)用機(jī)械能守恒得：

1

2

×2mv2-0=-mgR+mg×

1

4

×2πR×sin45°
帶入數(shù)據(jù)解得：v=0.744m/s
（2）假設(shè)小環(huán)能上升到最高點(diǎn)，則對(duì)整體從初位置運(yùn)動(dòng)到A球到達(dá)最高點(diǎn)的過程中運(yùn)用機(jī)械能守恒得：

1

2

×2mv′2-0=-mg?2R+mg×

1

2

×2πR×sin45°
帶入數(shù)據(jù)化簡得：2×v′²=-2×10×1+20×0.5×

2

2

＜0
故假設(shè)不可能，即說明小環(huán)A不能到達(dá)圓弧的最高點(diǎn)．
設(shè)小環(huán)A從最低點(diǎn)開始上升的最大高度為h，B沿斜面下滑的距離為S，則有
  mgh=mgSsin45°
又根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)有：cos

S

R

=

R-h

R

聯(lián)立代入得：cos

2 h

50

=1-

h

50

解得，h≈70cm
答：（1）小環(huán)A運(yùn)動(dòng)到圓弧的最右端時(shí)的速度大小是0.744m/s．
（2）小環(huán)A不能到達(dá)圓弧的最高點(diǎn)．小環(huán)A從最低點(diǎn)開始上升的最大高度是70cm．

點(diǎn)評(píng)：本題是系統(tǒng)的機(jī)械能守恒問題，環(huán)到達(dá)最高點(diǎn)的臨界條件是速度等于零，要善于運(yùn)用假設(shè)進(jìn)行分析．