Question

14．一根質(zhì)量為M的均質(zhì)繩，其兩端固定在天花板上的A、B兩點(diǎn)，在繩的中點(diǎn)懸掛一質(zhì)量為m的重物，懸掛重物繩的質(zhì)量不計(jì)．如圖所示，設(shè)a為繩的端點(diǎn)A、B點(diǎn)的切線與豎直方向的夾角、β為均質(zhì)繩中點(diǎn)處的切線方向和豎直方向的夾角，則下列說(shuō)法中正確的是（　�。�

• A． $\frac{tana}{tanβ}$=$\frac{m}{M+m}$
• B． a可能等于β
• C． 均質(zhì)繩中各點(diǎn)張力大小相等
• D． 若去掉重物，均質(zhì)繩的重心位置不變

Answer 1

分析 先以整體為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件分析端點(diǎn)處對(duì)繩子的拉力與總重力的關(guān)系式；對(duì)左半邊繩子研究，得到端點(diǎn)和中點(diǎn)繩子的拉力的關(guān)系式；再采用比例法求解．

解答 解：A、設(shè)繩子端點(diǎn)處和中點(diǎn)處繩子張力分別為F₁、F₂．
對(duì)整體研究，根據(jù)平衡條件得
F₁cosα=$\frac{1}{2}（M+m）g$ ①
對(duì)左半邊繩子研究得
F₁cosα=F₂cosβ+$\frac{1}{2}Mg$ ②
F₁sinα=F₂sinβ ③
由①②得到 F₂cosβ=$\frac{1}{2}mg$ ④
則由③：①得 tanα=$\frac{{2{F_2}sinβ}}{（M+m）g}$⑤
由③：④得 tanβ=$\frac{{2{F_1}sinα}}{mg}$⑥
所以由③⑤⑥聯(lián)立得 $\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{m}{M+m}$，故A正確；
B、由于$\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{m}{M+m}$＜1，故α＜β，故B錯(cuò)誤；
C、由于α≠β，根據(jù)③式，F(xiàn)₁≠F₂，故C錯(cuò)誤；
D、設(shè)想沒(méi)有物體m，加上m后，根據(jù)功能關(guān)系，W_G+W_F=0，由于拉力做正功，故重力做負(fù)功，說(shuō)明重心上升，故若去掉重物，均質(zhì)繩的重心位置下降，故D錯(cuò)誤；
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題是力平衡問(wèn)題，難點(diǎn)存在如何選擇研究對(duì)象和如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)變形求解，還要結(jié)合功能關(guān)系列式分析．