Question

20．如圖為某探究小組設計的簡易運輸系統(tǒng)；高度為h、傾角為30⁰的固定斜面下端與水平面平滑連接，一勁度系數(shù)為k的輕質彈簧左端固定，自由伸長時右端恰好位于斜面下端；質量為M的木箱在斜面頂端時，自動裝貨裝置將質量為m的貨物裝入木箱，然后木箱載著貨物沿斜面無初速度滑下，然后壓縮彈簧減速至速度為零時，自動卸貨裝置立即將貨物卸下，然后木箱被彈回；已知水平面光滑，木箱與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，重力加速度為g，求：
（1）木箱在斜面上下滑的加速度大小a；
（2）卸貨的位置離斜面下端的距離d．

Answer 1

分析 （1）以木箱和貨物為研究對象，根據牛頓第二定律求加速度；
（2）根據運動學公式求出木箱和貨物滑到斜面底端的速度，壓縮彈簧過程中彈力做功，根據平均力求彈力做功，由動能定理即可求出卸貨的位置離斜面下端的距離d；

解答 解：（1）以木箱和貨物為對象，剛開始下滑時兩者所受的合外力為
F_合=（M+m）gsin30°-μ（M+m）gcos30°…①
由牛頓第二定律得F_合=（M+m）a…②
故a═gsin30°-μgcos30°=$\frac{1}{4}$g…③
（2）斜面的長度L=$\frac{h}{sin30°}$=2h…④
木箱和貨物滑到下端時的速度v=$\sqrt{2aL}$=$\sqrt{gh}$…⑤
在壓縮彈簧過程中彈簧彈力做功W=-$\overline{F}$d…⑥
彈力大小的平均值$\overline{F}$=$\frac{1}{2}$kd…⑦
根據動能定理，有W=0-$\frac{1}{2}$（M+m）v²⑧
解得：d=$\sqrt{\frac{（M+m）gh}{k}}$…⑨
答：（1）木箱在斜面上下滑的加速度大小a為$\frac{1}{4}g$；
（2）卸貨的位置離斜面下端的距離d為$\sqrt{\frac{（M+m）gh}{k}}$

點評 本題考查牛頓運動定律和動能定理的應用，注意彈簧彈力是變力，求解變力做功問題一般借助動能定理求解，本題中彈力與位移成線性，所以可以用平均力做功．