Question

7．如圖，有一水平傳送帶，左、右端間的距離為10m，一物體從左邊光滑斜面上h₁=4m處由靜止釋放滑上傳送帶的左端，已知θ=30°，物體與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.1，當(dāng)傳送帶靜止時(shí)，物體恰能滑到右側(cè)光滑斜面h₂高度處（彎道處的能量損失均不計(jì)），求：（結(jié)果可用根式表示，g取10m/s²）
（1）高度h₂為多少？
（2）當(dāng)傳送帶以2m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，物體第一次到達(dá)傳送帶右端的時(shí)間是多少？
（3）若傳送帶靜止，該物體最終停在何處？物體運(yùn)動(dòng)的路程為多大？

Answer 1

分析 （1）對整個(gè)過程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，可求得高度h₂．
（2）先根據(jù)動(dòng)能定理求出物體第一次滑上傳送帶時(shí)的速度．根據(jù)物體的速度與傳送帶速度的關(guān)系分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）由于斜面是光滑的，所以該物體最終停在傳送帶上．對整個(gè)過程運(yùn)用動(dòng)能定理求得物體在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的總路程，再分析物體最終停止的位置．

解答 解：（1）對整個(gè)過程，由動(dòng)能定理得：
   mg（h₁-h₂）-μmgL=0
可得 h₂=h₁-μL=4-0.1×10=3（m）
（2）設(shè)物體第一次滑上傳送帶時(shí)的速度為v₀．
對物體在左側(cè)斜面上下滑的過程，由動(dòng)能定理得：
    mgh₁=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得 v₀=4$\sqrt{5}$m/s
假設(shè)傳送帶順時(shí)針，物體在傳送帶減速至與傳送帶等速時(shí)通過的位移大小為x，則由動(dòng)能定理得：
-μmgx=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 x=38m＞L=10m
所以無論傳送帶順時(shí)針還是逆時(shí)針傳動(dòng)，物體都做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，因物體所受摩擦力不變，加速度不變，時(shí)間相等，都是t．
根據(jù) L=v₀t-$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
又 μmg=ma
聯(lián)立解得  $t=（\frac{{24\sqrt{5}}}{5}-2\sqrt{15}）s$
（3）由于斜面是光滑的，所以該物體最終停在傳送帶上．設(shè)物體在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的總路程為s．
對整個(gè)過程，由動(dòng)能定理得：
 mgh₁=μmgs
解得 s=40m=4L
所以物體最后停在傳送帶最左端．
設(shè)物體第一次滑回左側(cè)斜面時(shí)，在左側(cè)斜面上滑行的路程為s₁，物體第二次滑上右側(cè)斜面時(shí)，在右側(cè)斜面上滑行的路程為s₂．
物體第二次滑回左側(cè)斜面時(shí)，在左側(cè)斜面上滑行的路程為s₃，物體第三次滑上右側(cè)斜面時(shí)，在右側(cè)斜面上滑行的路程為s₄．
對各段過程分別根據(jù)動(dòng)能定理得：
   mgh₂-μmgL-mgsinθ•s₁=0
   mg（s₁-s₂）sinθ-μmgL=0
   mg（s₂-s₃）sinθ-μmgL=0
   mg（s₃-s₂）sinθ-μmgL=0
物體運(yùn)動(dòng)的路程為 s_總=$\frac{{h}_{1}+{h}_{2}}{sinθ}$+s+$\frac{{h}_{2}}{sinθ}$+2s₁+2s₂+2s₃+s₄．
聯(lián)立解得 s_總=72m
答：
（1）高度h₂為3m．
 （2）無論傳送帶順時(shí)針還是逆時(shí)針傳動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間都是（$\frac{24\sqrt{5}}{5}-2\sqrt{15}$）s．
（3）物體運(yùn)動(dòng)的路程為72m，最后停在傳送帶最左端．

點(diǎn)評 傳送帶問題，關(guān)鍵要根據(jù)物體的受力情況分析物體的運(yùn)動(dòng)過程．本題要多次運(yùn)用動(dòng)能定理列式，要研究力在空間上的效應(yīng)時(shí)動(dòng)能定理是常用的方法．