Question

（2011?撫順一模）過(guò)山車是游樂(lè)場(chǎng)中常見(jiàn)的設(shè)施．下圖是一種過(guò)山車的簡(jiǎn)易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的兩個(gè)圓形軌道組成，B、C分別是兩個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，半徑R₁=2.0m、R₂=1.4m．一個(gè)質(zhì)量為m=1.0kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以v₀=12.0m/s的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，A、B間距L₁=6.0m．小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，圓形軌道是光滑的．假設(shè)水平軌道足夠長(zhǎng)，圓形軌道間不相互重疊．重力加速度g=10m/s²，計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字．試求：
（1）小球在經(jīng)過(guò)第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通過(guò)第二個(gè)圓形軌道，B、C間距L應(yīng)是多少．

Answer 1

分析：（1）小球以一定速度經(jīng)過(guò)粗糙水平軌道后，再滑上豎直的光滑圓軌道，通過(guò)動(dòng)能定理可求出小球在第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)的速度，從而根據(jù)牛頓第二、定律可算出軌道對(duì)小球的作用力．
（2）由小球恰能通過(guò)第二個(gè)圓形軌道，則由牛頓第二定律可求出最高點(diǎn)的速度大小，再由動(dòng)能定理可求出B、C間距．

解答：解：（1）設(shè)小球經(jīng)過(guò)第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度為v₁
根據(jù)動(dòng)能定理有：-μmgL1-2mgR1=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

小球在最高點(diǎn)受到重力mg和軌道對(duì)它的作用力F，
根據(jù)牛頓第二定律：
   F+mg=m

v 2 1

R1

                       
由①②得軌道對(duì)小球作用力的大小  F=10N                              
（2）設(shè)小球在第二個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)的速度為v₂，由題意
 mg=m

v 2 2

R2

                                 
-μmg（L₁+L）-2mgR₂=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 0

           
由④⑤得 B、C間距 L=12.5m        
答：（1）小球在經(jīng)過(guò)第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球作用力的大小為10N；
（2）如果小球恰能通過(guò)第二個(gè)圓形軌道，B、C間距L應(yīng)是12.5m．

點(diǎn)評(píng)：（1）小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中使用動(dòng)能定理時(shí)要注意，除摩擦阻力做負(fù)功外，重力也是做負(fù)功．再由牛頓第二定律可求解．
（2）從小球剛好能通過(guò)第二個(gè)圓軌道，這是解題的突破口．同時(shí)注意重力做功時(shí)高度是半徑的2倍．