Question

如圖所示，Q為一個(gè)原來(lái)靜止在光滑水平面上的物體，質(zhì)量為M，它帶有一個(gè)凹形的不光滑軌道，軌道的ab段是水平的，bc段是半徑為R的圓弧，位于豎直平面內(nèi)。P是另一個(gè)小物體，質(zhì)量為m，它與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。物體P以沿水平方向的初速度v₀沖上Q的軌道，已知它恰好能到達(dá)軌道頂端c點(diǎn)，后又沿軌道滑下，并最終在a點(diǎn)停止滑動(dòng)，然后與Q一起在水平面上運(yùn)動(dòng)。

（1）分別求出P從a點(diǎn)滑到c點(diǎn)和從c點(diǎn)滑回a點(diǎn)的過(guò)程中各有多少機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能？
（2）P位于軌道的哪個(gè)位置時(shí)，Q的速度達(dá)到最大？

Answer 1

（1）mgR；（2）θ="arc" tanμ

（1）當(dāng)P在Q上滑行時(shí)，水平方向系統(tǒng)受合外力為零，故在水平方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒。當(dāng)P到達(dá)c點(diǎn)時(shí)，P和Q具有共同的水平速度V。根據(jù)動(dòng)量守恒定律，
mv₀ =" (m+M)" V                （1）
P由a點(diǎn)滑到c點(diǎn)的過(guò)程中，系統(tǒng)損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，則根據(jù)功能關(guān)系
 （2）
由（1）、（2）兩式得
                             ④
當(dāng)P到達(dá)c點(diǎn)時(shí)，P和Q仍具有共同的水平速度V。所以在P由c點(diǎn)滑回到a點(diǎn)的過(guò)程中，有                
即                        Q_下=mgR              ②
(2)在P從a滑到c的過(guò)程中，P對(duì)Q的作用力都偏向右側(cè)，因此Q受到向右的作用力，Q將一直加速，到達(dá)c點(diǎn)時(shí)P、Q間無(wú)相互作用；從c滑到b的過(guò)程中，P的受力分析示意圖如右圖所示，其中支持力N偏向左側(cè)，摩擦力f偏向右側(cè)。這個(gè)過(guò)程的前一階段，P受到的合外力的水平分力向左，則Q受到合力的水平分力向右，Q將繼續(xù)加速，當(dāng)P在水平方向受力平衡的時(shí)刻，就是Q速度最大的時(shí)刻。                   ④
此時(shí)滿足                    f cosθ=" N" sinθ
并且                         f = μN(yùn)
因此得                       tanθ=μ
即P所在位置的半徑與豎直方向的夾角為     θ="arc" tanμ。                       ④