Question

19．假設某星球的質量約為地球質量的9倍，半徑約為地球的一半．不考慮星球和地球自轉的影響，由以上數據可推算出：
（1）該星球表面重力加速度與地球表面重力加速度之比約為多少？
（2）靠近該星球表面沿圓軌道運行的航天器線速度與靠近地球表面沿圓軌道運行的航天器線速度之比約為多少？
（3）靠近該星球表面沿圓軌道運行的航天器的周期與靠近地球表面沿圓軌道運行的航天器的周期之比約為多少？

Answer 1

分析 在星球表面的物體受到的重力等于萬有引力得到重力加速的表達式再求比值，根據萬有引力提供向心力得到線速度和周期的表達式

解答 解：（1）根據重力等于萬有引力，有：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
得：$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$
$\frac{{g}_{星}^{\;}}{{g}_{地}^{\;}}=\frac{{M}_{星}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{2}}{{R}_{星}^{2}}=\frac{9}{1}×\frac{4}{1}=\frac{36}{1}$
（2）根據萬有引力提供向心力有：G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
$\frac{{v}_{星}^{\;}}{{v}_{地}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{星}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{\;}}{{R}_{星}^{\;}}}=\sqrt{\frac{9}{1}×\frac{2}{1}}=\frac{6}{\sqrt{2}}$
（3）根據萬有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
得：$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{GM}}$
$\frac{{T}_{星}^{\;}}{{T}_{地}^{\;}}=\sqrt{\frac{{R}_{星}^{3}}{{R}_{地}^{3}}\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{星}^{\;}}}=\sqrt{\frac{1}{8}×\frac{1}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{12}$
答：（1）該星球表面重力加速度與地球表面重力加速度之比約為36：1
（2）靠近該星球表面沿圓軌道運行的航天器線速度與靠近地球表面沿圓軌道運行的航天器線速度之比約為$6：\sqrt{2}$
（3）靠近該星球表面沿圓軌道運行的航天器的周期與靠近地球表面沿圓軌道運行的航天器的周期之比約為$\sqrt{2}：12$

點評 本題關鍵是根據第一宇宙速度和重力加速度的表達式列式求解，其中第一宇宙速度為貼近星球表面飛行的衛(wèi)星的環(huán)繞速度，根據萬有引力提供圓周運動向心力進行分析．