(2007?徐州三模)如圖,在空間中有一坐標(biāo)系xOy,其第一象限內(nèi)充滿著兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域I和II,直線OP是它們的邊界,區(qū)域I中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直紙面向外;區(qū)域II中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B,方向垂直紙面向內(nèi),邊界上的P點(diǎn)坐標(biāo)為(4L,3L).一質(zhì)量為m電荷量為q的帶正粒子從P點(diǎn)平行于y軸負(fù)方向射入?yún)^(qū)域I,經(jīng)過一段時(shí)間后,粒子恰好經(jīng)過原點(diǎn)O,忽略粒子重力,已知sin37°=0.6,cos37°=0.8.求:
(1)粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的時(shí)間為多少?
(2)粒子的速度大小是多少?
分析:(1)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中受到洛倫茲力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng),由題:粒子從P進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ后恰好經(jīng)過原點(diǎn)O,必定返回磁場(chǎng),才能經(jīng)過原點(diǎn)O,畫出軌跡.所以粒子先在磁場(chǎng)I區(qū)中做順時(shí)針的圓周運(yùn)動(dòng),后在磁場(chǎng)II區(qū)中做逆時(shí)針的圓周運(yùn)動(dòng),然后從O點(diǎn)射出,這樣粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)所用的時(shí)間最短.根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)求出軌跡半徑和周期.根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度,即可由t=
θ
求出時(shí)間;
(2)粒子的速度大小滿足一定條件時(shí),粒子先在磁場(chǎng)I區(qū)中運(yùn)動(dòng),后在磁場(chǎng)II區(qū)中運(yùn)動(dòng),然后又重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng),直到經(jīng)過原點(diǎn)O.這樣粒子經(jīng)過n個(gè)周期性的運(yùn)動(dòng)到過O點(diǎn),每個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)情況相同,粒子在一個(gè)周期內(nèi)的位移S=
OP
n
(n=1,2,3,…).根據(jù)S與兩個(gè)半徑的關(guān)系,求出半徑,即可求解速度.
解答:解:(1)設(shè)粒子的入射速度為v,用R1,R2,T1,T2分別表示粒子在磁場(chǎng)I區(qū)和II區(qū)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和周期.則
  qvB=m
v2
R1

  qv2B=m
v2
R2

 周期分別為 T1=
R1
v
=
2πm
qB
,T2=
R2
v
=
πm
qB

粒子先在磁場(chǎng)I區(qū)中做順時(shí)針的圓周運(yùn)動(dòng),后在磁場(chǎng)II區(qū)中做逆時(shí)針的圓周運(yùn)動(dòng),然后從O點(diǎn)射出,這樣粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)所用的時(shí)間最短.
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示.tanα=
3L
4L
=0.75

得α=37°,α+β=90°
粒子在磁場(chǎng)I區(qū)和II區(qū)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為t1=
360°
?T1
t2=
360°
?T2

粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的時(shí)間至少為t=n(t1+t2 ) (n=1,2,3,…)
由以上各式解得t=n
53πm
60qB
,(n=1、2,3,…)
(2)粒子的速度大小滿足一定條件時(shí),粒子先在磁場(chǎng)I區(qū)中運(yùn)動(dòng),后在磁場(chǎng)II區(qū)中運(yùn)動(dòng),然后又重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng),直到經(jīng)過原點(diǎn)O.這樣粒子經(jīng)過n個(gè)周期性的運(yùn)動(dòng)到過O點(diǎn),每個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)情況相同,粒子在一個(gè)周期內(nèi)的位移為S=
OP
n
=
(4L)2+(3L)2
n
=
5L
n
(n=1、2,3,…)
粒子每次在磁場(chǎng)I區(qū)中運(yùn)動(dòng)的位移為S1=
R1
R1+R2
S=
2
3
S

由圖中幾何關(guān)系可知
S1
2
R1
=cosα
由以上各式解得粒子的速度大小為v=
25qBL
12nm
(n=1、2,3,…)  
答:
(1)粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的時(shí)間為n
53πm
60qB
,(n=1、2,3,…)
(2)粒子的速度大小是
25qBL
12nm
,(n=1、2,3,…)
點(diǎn)評(píng):本題在復(fù)合場(chǎng)中做周期性運(yùn)動(dòng)的類型,關(guān)鍵要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析粒子的規(guī)律,得到粒子在一個(gè)周期內(nèi)位移的通項(xiàng),綜合性較強(qiáng),難度很大.
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